§4.Обратная матрица.

Для каждого числаа0существует обратное числоа^-1такое, что произведениеаа^-1=1. Для квадратных матриц вводится аналогичное понятие.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

Однако, не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если условие а0является необходимым и достаточным для существования числаа^-1, то для существования матрицы А^-1таким условием является требованиеA0.

Определение. Квадратная матрицаn-го порядка называетсяневырожденной (неособенной), если ее определительA0.

Если же A=0, то матрица А называетсявырожденной (особенной).

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).Если квадратная матрицанеособенная(т.е. ее определитель не равен нулю), то для нее существуетединственнаяобратная матрица.

Доказательство.

I.Необходимость.Пусть матрица А имеет обратную А^-1, т.е. АА^-1= А^-1А=Е. Посвойству 3определителей (§11) имеем(АА^-1)=(А^-1)(А)=(Е)=1, т.е.A0иA^-10.

II.Достаточность.Пусть квадратная матрица А неособенная, т.е.A0. Напишем транспонированную матрицу А^Т:

А^Т=.

В этой матрице каждый элемент заменим его алгебраическим дополнением, получим матрицу:

А^*=.

Матрица А^*называетсяприсоединеннойматрицей к матрице А.

Найдем произведение АА^*(и А^*А):

АА^*=,

Где диагональныеэлементы=A,

=A,

:

:

=A.(формуле 11.1§11)

А все остальные недиагональныеэлементы матрицы АА^*равны нулю посвойству 10 §11, например:

,

и т.д. Следовательно,

АА^*=или АА^*=A=AЕ.

Аналогично доказывается, что А^*А =AЕ.

Разделив оба полученных равенства на A, получим:. Отсюда, по определению обратной матрицы, следует существование обратной матрицы

, т.к.АА^-1=А^-1А=Е.

Существование обратной матрицы доказано. Докажем единственность. Предположим, что существует еще другая обратная матрица Fдля матрицы А, тогдаAF=EиFA=E. Умножив обе части первого равенства на А^-1слева, а второго на А^-1справа, получим: А^-1AF= А^-1EиFAА^-1=EА^-1, откудаEF= А^-1EиFE=EА^-1. Следовательно,F= А^-1. Единственность доказана.

Пример.Дана матрица А =, найти А^-1.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Находим определитель исходной матрицы. Если A=0, то матрица А-вырожденная и обратная матрица А^-1не существует. ЕслиA0, то матрица А-невырожденная и обратная матрица А^-1существует.

2. Находим алгебраические дополнения элементов исходной матрицы А_ij и составляем из них присоединенную матрицу А^*, записывая алгебраические дополнения элементов строки в столбец.

3. Вычисляем обратную матрицу по формуле: .

4. Проверить правильность вычисления обратной матрицы

Свойства обратных матриц.

1. (A^-1)^-1= A;

2) (AB)^-1 = B^-1A^-1

3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.