§3. Линейная комбинация векторов.
Определение. Линейной комбинацией
векторов
,
,
. . .
с действительными коэффициентами,, . . .,,
называется вектор
.
Утверждения:
Если векторы
и
коллинеарны,
то их линейная комбинация с некоторыми
действительными числамии(≠0
и≠0) равна нулю:
Действительно,
и, наоборот, если
||
(самостоятельно).
Если векторы
,
и
- компланарны, то найдутся такие числа,,(≠0), что их линейная
комбинация будет равна нулю ( и наоборот),
т.е.
,
и
- компланарны
Определение.Линейно независимыми векторами на плоскости называются два вектора, если они не коллинеары; а в 3-ех мерном пространстве – три вектора, если они не компланарны.
Определение.Два или три ортогональных (перпендикулярных) вектора являются линейно независимыми и образуют двойку или тройку линейно независимых векторов.
Определение. Если три единичных вектора (длина которого равна единице) взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку векторов, то они являются базой прямоугольной декартовой системы координат.
Обозначается
-ортыкоординат.
Система
координат называетсяправой,потому
что векторы
имеют такую же ориентацию, как
соответственно большой, указательный
и средний пальцы правой руки. Для
определения правого направления системы
координат может быть использованоправило правого винта:если винт
вкручивается в осьOZсо
стороны 0, то отвертка вращается отXкY.
Вектор
в прямоугольной декартовой системе
координат записывается в виде:
,
гдеax,
ay,
az– прямоугольные декартовы координаты
вектора
или проекции этого вектора на
соответствующие оси.
В прямоугольной декартовой системе
координат каждой точке М однозначно
соответствует вектор
,
который называется радиус-вектором
точки М. Декартовы координаты вектора
отнесенные
к
,
называются декартовыми координатами
точки М.
§4. Скалярное произведение векторов.
Пусть
и
- произвольные векторы, а- угол между ними:
Определение.
Скалярным произведением векторов
и
называется число, равное произведению
длин этих векторов на косинус угла между
ними:
=
cos(3.1)
Свойстваскалярного произведения:
=
- переместительный закон;(
)
=
(
)
=(
),=const– сочетательный закон относительно
умножения на число;
(
+
)
=
+
- распределительный закон относительно
суммы векторов;
=
2=
2(3.2) –формула
скалярного квадрата.
=
cos(
,
)
= 
2
cos0
= 
2.
Из (3.2) 
=
-длина вектора равна корню квадратному
из его скалярного квадрата.
= 0, если
и наоборот, если
= 0, то при
0 и
0 векторы
и
взаимно
перпендикулярны – этоусловие
перпендикулярности двух векторов:
= 0 (3.3)
Если рассматривать векторы
в
декартовой прямоугольной системе
координат, то
=xa
xb
+ ya
yb
+ za
zb
(3.4) -скалярное произведение
векторов
в координатной форме
Используя полученные равенства (3.1) и (3.4), получаем формулу для вычисления угла между векторами:
(3.5)
Пример.Найти (5
+ 3
)(2
-
),
если
Пример.Найти угол между векторами
и
,
если
.
Пример.Найти скалярное произведение (3
- 2
)(5
- 6
),
если
Пример.При какомmвекторы
и
перпендикулярны.
Пример.Найти скалярное произведение векторов
и
,
если