§5.Векторное произведение векторов.

Определение.Векторным произведением векторовиназывается вектор, удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где- угол между векторамии,

2) вектор ортогонален векторами

3) ,иобразуют правую тройку векторов.

Обозначается: или .



Свойства векторного произведения векторов:

1) ;

2) , еслиили= 0 или= 0;

3) (m)=(m) =m();

4) (+ ) =+ ;

5) Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a)и (x_b, y_b, z_b)в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами, то

=(4.1)

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

Пример.Найти векторное произведение векторови

.

.

§6. n-мерные векторы и векторные пространства.

Понятие множества является одним из основных в математике.

Определение. Семейство объектов, объединенных по определенному признаку, называетсямножеством.Объекты, составляющие множество, называются егоэлементами илиточками.

Обычно множества обозначаются большими буквами, а входящие в них элементы – малыми буквами. Элемент xиз множестваХ - записывается:х Х (х принадлежитХ); если же элементхне входит в множествоХ,то это соответствует записих Ï Х (х не принадлежитХ). Если все элементы множестваХсодержатся в другом множествеY, тоX  Yи говорят, чтоХявляетсяподмножествоммножестваY.

Множества всех плоских (2-мерных) или пространственных (3-мерных) векторов, рассмотренных выше, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Обобщим понятие вектора для случая n-мерного пространства и дадим определение векторного пространства.

Определение. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупностьnдействительных чисел, записываемых в видеХ= (x₁, x₂, . . . x_n), гдеx_i–i-ая компонента (координата) вектораХ.

Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать векторомХ= (x₁, x₂, . . . x_n), гдеx_i– количествоi-го товара, а соответствующие цены можно записать в видеР = (р₁, р₂, . . . р_n).

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты:X = Y x_i = y_i, i = 1, 2, . . .n.

Суммой двух векторов одинаковой размерностиnназывается векторZ = X + Y, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов:z_i = x_i + y_i, i = 1, 2, . . .n.

Произведением вектора Х на действительное число называется векторU = X, компонентыu_iкоторого равны произведениюна соответствующие компоненты вектораХ :u_i = x_i,i = 1, 2, . . .n.

Пусть X, Y, Z – любые векторы одинаковой размерности,,- любые числа. Линейные операции над векторами (сумма векторов и умножение вектора на число) удовлетворяют следующим свойствам (аксиомам):

1. X + Y = Y + X;

2. (X + Y) + Z = X + (Y + Z);

3. (X) = ()X;

4. (X + Y) = X + Y;

5. ( + )X = aX + bX;

6. Существует нулевой вектор 0 = (0, 0, . . . , 0) такой, чтоX + 0 = X для любого вектораX(особая роль нулевого вектора);

7. Для любого вектора Х существует противоположный вектор(-Х)такой, чтоХ + (-Х) = 0;

8. 1Х = Х для любого вектораХ(особая роль числового множителя 1).

Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведенным выше свойствам 1 – 8, называетсявекторным пространством Rⁿ.

Заметим, что под X, Y, Zможно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называетсялинейным пространством L.