Лекція 15 (продовження – 15.3)

Поняття раціонального перерізу при згині - З формули напружень при згині випливає, що найбільші (позитивні - розтягучі) і найменші (негативні - стискаючі) напруження в поперечному перерізі залежать від величини осьового моменту

інерції або осьового моменту опору:	max M x ymax .		max	M x	.
	Ix			Wx

При зміні розмірів перерізу змінюються як осьовий момент опору, так і площа перерізу. При цьому величина осьового моменту опору залежить, наприклад, для прямокутного перерізу, від квадрата висоти перерізу, а площа - лінійно. Збільшенням площі збільшує витрату матеріалу на

виготовлення балки. Більш раціональним перерізом вважається такий, при якому відношення моменту опору до площі має більше значення. Для цього слід якомога більшу частину площі поперечного перерізу розташовувати якомога далі від нейтральної осі.

Нижче показано 5 поперечних перерізів балки, складених з нерівнополичкових кутиків і листів, площа всіх перерізів однакова, а моменти опору різні:

У зв'язку з тим, що площі цих перерізів однакові, найбільш раціональним з них є той,

уякого момент опору Wx більший.

■Домогтися зниження ваги балки можна також шляхом зміни розмірів перерізу по її довжині відповідно до зміни величини згинального моменту.

Оскільки епюра згинального моменту має в загальному випадку криволінійний

обрис, то для отримання раціонального перерізу розміри, наприклад висота або товщина полиць, повинні безперервно змінюватися.

З технологічних міркувань замість цього використовують ступеневу
зміну товщини, що досягається приварюванням або приклепуванням
додаткових горизонтальних листів:
На малюнку зображена, так звана, епюра матеріалів,
ординати якої дорівнюють добутку моменту опору
поперечного перерізу на допустимі напруження :	M x	Wx .

58

Лекція 15 (продовження – 15.4)

Прямий поперечний згин - в поперечному перерізі балки, крім згинального моменту, діє також поперечна сила.

При прямому поперечному згині згинальний момент діє в площині, що збігається з однією з головних площин інерції поперечного перерізу балки. Поперечна сила при цьому зазвичай паралельна площині дії згинального моменту.

■Дотичні напруження при поперечному згині - У загальному випадку при поперечному згині балок довільного профілю можуть

виникати дві компоненти повного дотичного напруження в перерізі. Компонента zx для такого перерізу не може бути знайдена методами

опору матеріалів. Дотичні напруження zy, що виникають в поперечному перерізі, пов'язані з поперечною силою, що діє

в цьому перерізі бруса, інтегральною залежністю:

Qy zy dA.

Оскільки закон зміни дотичних напружень по перерізу невідомий,

F

M

Qy

то з цього рівняння знайти дотичні напруження для відомої поперечної сили

A

не можна.

x

Mx+dMx

z

Виділимо малий елемент двома нормалями до осі бруса і замінимо дію відкинутих частин

z

Qy

нормальними напруженнями та дотичними напруженнями. Під їх дією елемент знаходиться в

рівновазі.

dz

При дії поперечної сили згинальний момент у перерізі, віддаленому на відстані dz від іншого

y

z

zy

+d

z

zy

перерізу, має приріст dMx.

zy

z z

Aвідсzx

згідно залежності M x

y нормальні напруження також отримують збільшення : d dM x

A1

dA

y.

yz

I x

I x

z

x

Відсічемо від розглянутого елемента деяку її частину горизонтальною площиною і замінимо

її дію дотичними напруженнями (нормальні напруження відповідно до гіпотезою про

відсутність здавлювання поздовжніх волокон не розглядаються).

Залишений елемент як і раніше знаходиться в рівновазі. Рівняння рівноваги в проекції на вісь z:

b

Z

0;

- (

d

)dA

dA

dA 0.или

-

d zdA yzdA 0.

dz

i

z

z

z

yz

Aвідс

Aвідс

A1

Aвідс

A1

Тут Aвідс – площа відсіченої частини поперечного перерізу,A1 – площа горизонтального перерізу елемента, що дорівнює bdz.

Перенесемо перший інтеграл в праву частину і підставимо в нього вираз для нормальних напружень:

dA

dM x

ydA.

Приріст згинального моменту і осьовий момент інерції перерізу не залежать від площі

yz

Ix

A1

dM x

Aвідс

dM x

відсіченої частини і їх можна винести за знак інтеграла. Залишений підінтегральної вираз співпадає з

dA

ydA

Sвідс .

виразом для статичного моменту площі відсіченої частини поперечного перерізу:

yz

x

Вважаючи дотичні напруження постійними за площею A1, що відповідає припущенням сталості

A1

Ix Aвідс

Ix

деформацій зсуву по ширині поперечного перерізу, враховуючи закон парності дотичних

dM x Sxвідс

Qy Sxвідс

переміщень і диференціальну залежність

dM

відс

- формула

поперечної сили, отримуємо:

zybdz

x

Sx .

zy

або

zy

.

Журавського

dz

Ixb

Ixb

I

x

59

Лекція 15 (продовження – 15.5)

Розподіл дотичних напружень по висоті перерізу - З формули Журавського випливає,		відс
що дотичні напруження у волокнах поперечного перерізі, розташованих на деякій відстані від осі,	zy	Qy Sx	.
залежать від величини статичного моменту площі відсіченої частини і ширини перерізу на висоті січної площини:		Ixb
Побудуємо епюри дотичних напружень для деяких простих перерізів:

прямокутний переріз

Проведемо горизонтальний переріз на висоті y

h

y

і обчислимо статичний момент

y

h

1

1

h

2

Aвідс

Sвідс y

A

y 2

b

y

(2y h)b(h

2 y)

відсіченої частини:

x

o

відс

2

2

8

2

4

yo

y

x

Підставимо у формулу Журавського

h

вирази для статичного моменту

і моменту інерції:

Отримана залежність є

b

квадратичною від координати розглянутого

Таким чином, дотичні напруження по висоті

y = h/2, zy = 0; y = 0,

перерізу змінюються за квадратною параболою:

y2 b.

Можна переконатися, що об’єм епюри напружень τzy (y) · b / Qy дорівнює 1, що означає виконання

■ Товстостінний двотавр

Переріз має ступеневу зміну ширини і тому слід розглядати

зміни координати: 0 <y <h / 2 - стінка і h / 2 <y <H / 2 - полку.

y

H

h

1

2

Для стінки:

H

H

h

1

h2

Sвідс

2

B

y2

b

x

1

2

2

2

2

4

y1

y2

x

h

1

1

h2

H

(H 2 h2 )B

y2

4

2

b.

4

1

1

H 2

Для полички:

S

відс

y

2

B.

x

2

4

2

b

На обох ділянках дотримується квадратична залежність від B координати волокна. У місцях різкої зміни ширини перерізу

відповідно до формули Журавського епюра має скачки:

60

Лекція 15 (продовження – 15.6)

Тонкостінний переріз - Епюра вертикальних дотичних напружень z zy будується аналогічно розглянутому раніше для товстостінного двотавра.

F

У поличках виникають горизонтальні дотичні напруження zx, які можуть бути визначені

zx

за формулою Журавського, при цьому статичний момент площі, що відсікається вертикальною

Y

zx

max

Qy hb

площиною на відстані x1, обчислюється як і раніше відносно осі x:

Qy Sxотс

Це випливає з того факту, що при перетині вертикальною

zx

.

2

I

x

x1

площиною в поздовжньому перерізі виникають дотичні

Ix

z0

напруження xz рівні дотичним напруженням zx

d

x

zy

в поперечному перерізі на відстані x1. Далі, дотримуючись процедури

z

виведення формули Журавського, приходимо до тієї ж формули.

A

h

xz

zx

На відміну від вище вказаного (визначення вертикальних

Qy h(

h

b)

дотичних напружень), тепер статичний момент відсіченої

max

4

zy

2I

частини змінюється за лінійним законом:

h (b z

x ) h .

z+d z

x

S

відс A

dz

x

відс

2

0

1

2

h

Qy Sxвідс

Qy (b

z0 x1)

2

Qy (b z0

x1)h

.

max

Qy hb

b

Звідси розглядувані горизонтальні дотичні

zy

zx

напруження змінюються також за лінійним законом:

h h

h Ix

h

Ix

2Ix

2Ix

Максимальні дотичні напруження:

Qy (

2 4 b 2)

Qy h( 4

b)

Qy hb

zx

max

zxmax

.

zy

Ix

2Ix

.

x1 z0

2Ix

Q

Sвідс

Q Sвідс

У разі згину одночасно в двох площинах дотичні напруження

виходять як алгебраїчна сума:

y

Перший інтеграл дорівнює площі епюри дотичних

1

Qy hb2

x

x

y

.

max

I

I

напружень τ

, помноженої на товщину полички:

Tx

zx b

.

міцності на зріз:

y

zx

2

4Ix

x

Таким чином,

hb2

max

Qy Sxотс

Rср ,

де Rзр – розрахунковий опір

крутний момент дорівнює

M

z

T h Q

y

z

0

Q

y

z

.

x

4Ix

0

Ix

матеріалу на зріз.

Приведення системи дотичних

M z

hb2

напружень до рівнодіючої дає:

d

z0 .

балок показують, що в поперечному перерізі виникає крутний

Qy

4Ix

система внутрішніх сил (дотичних напружень) в перерізі

площині дії поперечного навантаження переріз піддається

Отриманий центр приведення визначає положення рівнодіючої дотичних

інерції.

напружень і називається центром згину. Для розглянутого перерізу він

= Tx

h

= Qy

останній інтеграл

знаходиться поза контуром перерізу. При проходженні поперечної сили через

M

dA

дорівнює поперечній

центр згину кручення перерізу не виникає.

z

2

dA z

0

zx

1

2

zy

силі Qy.

61

A1

A

	Лекція 15 (продовження – 15.7)
	Розрахунки на міцність по дотичним напруженням і зусиллям зсуву - Складені згинальні елементи збираються на основі клейових,
	зварних, клепаних і болтових з'єднань, що дозволяє створити раціональні перерізи. Ці з'єднання безпосередньо сприймають дотичні
	зусилля (напруження).
■ Клейові з'єднання - розраховуються на опір зрушенню складових частин.
Aвідс	y	zymax,1		умова міцності :	max,1		Qymax Sxвідс	R ,		де Rкл – розрахунковий опір клею на зріз.
	x	zymax	zymax	z	zy		Ix		кл
				Крім того повинна бути забезпечена міцність на зріз основного матеріалу по найбільших
			yzmax	дотичним напруженням			max		відс
				на рівні нейтрального шару:		max Qy			Sx	R ,	де R – розрахунковий опір матеріалу
							zy	Ix		зр	зр
											на зріз.

Якщо матеріал - дерево, міцність якого на сколювання нижче ніж на зріз поперек волокон, то береться розрахунковий опір на сколювання, оскільки τzx = τyz за законом парності дотичних напружень.

■Зварні з'єднання - розраховуються на міцність зварного шва, що сприймає поздовжнє зсувне зусилля.

Y

Aвідс

 

Небезпечним перерізом для кутового зварного шва є переріз, що проходить по бісектрисі

Aвідс

прямого кута, що відповідає найменшій площі зрізу шва. За розрахунковий переріз приймається

Aш = bш ∙ Lш = hш ∙ cos450 ∙ Lш, де Lш - довжина шва (сегментна частина площі поперечного перерізу шва

hш

відкидається, як область, в якій не забезпечується якість шва).

При розрахунку

приймається

Aш = hш ∙ β ∙ Lш, де β - коефіцієнт форми кутового шва, що залежить

на зминання слід вважати, що зсуваюча

зварки β=0,7, напівавтоматичної – β=0,85, автоматичної – β=1).

сила, як рівнодіюча дотичних напружень

в площині

зсуву, обчислена як для суцільного перерізу,

розрахунковому перерізі шва,

Qmax Sвідс

Qmax S

відс

x

викликає зминання бічної поверхні

опору на зріз матеріалу шва:

ш

y

x

y

RшЕ .

Ix 2bш

заклепок. Розрахунковою площею зминання є найменша з

Qmax S

выдс

Ix 2 hш

площ, утвореної перетином діаметральної площиною тіла

y

x

.

Е

2 – кількість швів вузла

заклепки. В даному випадку Aзм = dз ∙ δ, де δ - товщина

2 Ix Rш

стінки. Умова міцності на зминання, подібно умові міцності

зріз і зминання заклепок (болтів), що сприймають

на зріз, приймає вигляд:

кутикками однаковий. У цьому випадку, у більш важких умовах працюють

QmaxSвідс

aQmaxSвідс

зм

y

x

y

x

зм

відсіченої частини для них більше, ніж для заклепок на полиці.

з

Rз .

Ix

dз

I

d

перерізі заклепки,

Qmax S відс

2aQmax S

відс

a

x

з

зріз матеріалу заклепки

y

x

y

x

Rзр .

заклепки):

з

Ix 2

dз2

Ix dз2

з

Звідси можна визначити необхідний крок заклепок

a

2 d 2 Rзр I

.

4a

на зминання. Остаточно приймається найменший крок з

з

з

x

62

визначених за умов зрізу та зминання.

max

відс

Qy

Sx

2 – кількість зрізів заклепки

При цьому максимальні нормальні напруження виникають у найбільш віддалених волокнах, а максимальні дотичні напруження - на нейтральній осі.

Лекція 15 (продовження – 15.8)

Аналіз напруженого стану при згині - Вище були отримані і розглянуті вирази для нормальних і дотичних напружень, що виникають при згині. При розрахунках на міцність повинні бути визначені ті перерізи і ті

волокна, в яких ці напруження досягають максимальних значень. І це різні перерізи і різні волокна. Наприклад, при поперечному згині двохопорної балки максимальний згинальний момент виникає в середині прольоту, а максимальна поперечна сила - в опорних перерізах.

			M x y.
			Ix
	zy		Qy Sxотс	.
			I xb

y	z
Mx
Qy

Визначивши величини головних напружень для ряду точок даного перерізу на різній відстані від нейтральної осі,

можна побудувати епюри головних напружень:

В елементі балки, що знаходиться в деякому перерізі, в якому одночасно діють досить великі згинальний момент і поперечна сила, на довільній відстані від нейтральної осі, виникають одночасно нормальні і дотичні напруження.

Головні напруження в цьому елементі і тангенс																				x y					1
																															2			2
кута нахилу головних площадок визначаються																1,2													( x y )			4 yx .
																						2			2
виразами:
При поперечному плоскому згині
																														tg2				2 yx			.
x = z = , y = 0, yx = yz = :
												1		2	4		2		.			tg2		2			.					x y
Тоді отримуємо:								1,2		2		2
	y
									2		Оскільки епюри дотичних напружень мають скачки
		x
											в місцях різкої зміни ширини поперечного перерізу
						1					(двотавр, швелер), то це знайде своє
											відображення на епюрі головних напружень.

Наочне уявлення про потік внутрішніх сил в тілі (стінці) балки можуть дати траєкторії головних напружень - ліній, в кожній точці яких дотична співпадає з напрямом головного напруження в цій точці. На малюнку показані траєкторії розтягуючих головних напружень. Вони перетинають нейтральну вісь під кутом 450. При армуванні бетону сталевими стрижнями враховується характер цих траєкторій, т.я. бетон погано чинить опір розтягуванню:

Траєкторії стискаючих головних напружень враховуються при постановці ребер жорсткості для запобігання випучування тонких стінок, внаслідок наявності стиснутих областей у стінці.

Аналіз напруженого стану при згині балки показує, що необхідно перевіряти умови міцності за нормальними напруженнями в крайніх
волокнах перерізів з максимальною величиною згинального моменту (у середині прольоту), по дотичним напруженням - на нейтральній
осі опорних перерізів і за головними напруженням - в точках з'єднання стінки і полки перерізів, в яких діють згинальний момент і	63
поперечна сила.

Лекція 15 (продовження – 15.9)

Згин стрижня в пружнопластичній стадії - Розглянуті раніше умови міцності ґрунтуються на порівнянні максимальних напружень з

розрахунковим опором у припущенні пружної роботи матеріалу. Для крихких матеріалів за розрахунковий опір приймається величина, пов'язана

з межею міцності, для пластичних - з межею текучості. Для крихких матеріалів виникнення максимальних напружень, більших розрахункового

опору, дійсно означає вичерпання несучої здатності аналізованого перерізу і балки вцілому.

y

σ

Але це не так для матеріалів, що мають стадію текучості. Можна помітити, що

σВ

у разі згину при досягненні напруженнями в крайніх волокнах граничних

x

значень, волокна, що знаходяться ближче до нейтральної осі, відчувають менші,

Напруження, що прямують аж до нуля.

σТ

Для цих матеріалів, виникнення напружень, рівних межі

текучості, не є граничним станом, оскільки інші волокна

ще залишаються пружними і можуть сприймати збільшення навантаження.

При збільшенні навантаження зона текучості починає збільшуватися, просуваючись до нейтральної осі.

Вичерпання несучої здатності перерізу відбудеться в момент, коли зона текучості пошириться аж до

ε

нейтральної осі і матеріал по всьому перерізу буде деформуватися при постійному навантаженні.

Стан перерізу, коли у всіх його точках розвиваються пластичні деформації, називають											εТ
пластичним шарніром. При виникненні пластичного шарніра балка не може залишитися в рівновазі і											F
перетворюється на механізм:
При утворенні пластичного шарніра нульова лінія займає положення, що розділяє переріз										A	0
на дві рівновеликі частини. Це випливає з рівності	N		dA		dA		A
нулю сумарного поздовжнього зусилля:		Т		Т		Т	розтяг		Т	стиск

Aрозтяг

Aстиск

Розвинутий пластичний шарнір не є ідеальним (здійснює роботу при взаємному повороті суміжних перерізів, тобто надає певний опір).

Момент опору повороту суміжних перерізів можна визначити приведенням напружень щодо будь-якої осі, наприклад, центральної (рівнодіюча стискаючих і розтягуючих напружень утворюють пару):

M гран

ydA

ydA

ydA

ydA

(Sрозтяг

Sстиск). Вираз в дужках можна розглядати як пластичний

x

Т

Т

Т

Т

Т

x

x

момент опору, проводячи аналогію з моментом

Aрозтяг

Aстиск

Aрозттяг

Aстиск

опору перерізу в пружній стадії:

гран

M гран

max

M

x

M

x

W пл

Т

x

;

y

max

Wпл

I

W

x

x

x

x

Пластичний момент опору завжди більше моменту опору перерізу в пружній стадії. Наприклад,

для прямокутного перерізу:

пл

розт

ст

Aрозт

h

Aст

h

bh h

bh h

bh2

,

Wx

bh2

.

Wx

Sx

Sx

4

4

4

2

4

2

4

6

	Таким чином, пластичний момент опору прямокутного перерізу в 1,5 рази більше пружного, і це означає, що навантаження може бути	64
	збільшене в 1,5 рази з моменту виникнення текучості до повного вичерпання несучої здатності конструкції.

Лекція 16

Внутрішні зусилля при крученні - При крученні в поперечному перерізі стержня виникає лише один силовий фактор - крутний момент Mz. Відповідно до методу перерізів величина і напрямок крутного моменту може бути знайдені з рівняння рівноваги в моментах щодо осі, що збігається з віссю стрижня, складеного для залишеної частини:

Крутний момент вважається позитивним, якщо при погляді на перетин з боку зовнішньої нормалі він повертає перетин

по ходу годинникової стрілки.

Увага! Це правило знаків умовне і не співпадає з прийнятими правилами знаків моментів, кутів повороту в теоретичній механіці і математиці, оскільки пов'язано не з системою координат, а з видом деформації залишеної частини, точно так, як правило знаків для поздовжнього зусилля пов'язано не з напрямком осі z , а з видом деформації розглянутої частини бруса.

■	Побудова епюри крутних моментів принципово нічим не відрізняється від побудови епюри поздовжніх сил. Позитивні значення
	відкладаються нагору від горизонтальної базової лінії, а негативні - вниз.
	z1	I	z2	II	z3 III	Нехай прямолінійний брус навантажений зовнішніми зосередженими крутним моментом M1, M2:

		M1	M2III	Використовуючи отримані вирази для крутного моменту побудуємо епюру крутних моментів:
	I			Нехай M1 = 250 Нм, M2 = 100 Нм. Відкладаючи на кожній з ділянок значення крутного моменту
a		b II	c	в деякому вибраному масштабі отримуємо епюру Mz:
				Зверніть увагу, що стрибки на епюрі Mz розташовуються в точках прикладення зовнішніх
MI-I		M1	M2	зосереджених моментів і рівні величинам цих моментів. Відповідно стрибок
				на лівому кінці епюри дає величину опорного моменту.

MII-II

M2

в моментах щодо осі z :

M zi 0;

I I

M1

M 2

0.

M z

M zI I

M1

M 2 .

З рівняння рівноваги отримуємо вираз для крутного моменту на ділянці 1:

MIII-III

Повторюємо кроки 3 та 4 для наступних ділянок:

3. Проведемо переріз II-II на другій ділянці і визначимо поточну координату перерізу і межі її

зміни : 0 z2 b.

4. Відкинемо ліву частину, замінимо її дію крутним моментом M II-II

M zII II

z

M i

0;

M 2 0.

рівняння рівноваги в моментах щодо осі z :

рівноваги отримуємо вираз для крутного моменту на ділянці 2:

II II

M 2 .

M z

Аналогічно отримуємо для ділянки 3 (0 z3 c):

M zi

0;

M zIII III

0.

M zIII III

0.

Отримані вирази показують, що крутний момент в перерізі

дорівнює алгебраїчній сумі моментів зовнішніх сил щодо

M

M прав

M

лiв.

осі бруса, взятих по одну сторону від перерізу!

z

zi

zi

Знак доданків позитивний, якщо розглянутий зовнішній крутний момент обертає перетин за годинниковою стрілкою при погляді на переріз з боку зовнішньої нормалі. 65

Лекція 16 (продовження – 16.2)

Кручення стержнів круглого поперечного перерізу - Кручення характерне тим, що в поперечних перерізах виникають дотичні напруження ,

що виникають від крутного моменту Mz.

Деформація стержня при крученні виражається тим, що поперечні перерізи повертаються навколо осі стержня

y

z на деякі кути = (z) , названі кутами закручування.

x

Дотичні напруження при крученні - Як вказувалося раніше, задача

визначення напружень є статично невизначеною, для вирішення якої

необхідно послідовно розглянути три сторони задачі:

z

1. Статика: Виділимо малий елемент двома нормальними до осі бруса перерізами

і замінимо дію відкинутих частин дотичними напруженнями.

Під їх дією елемент знаходиться в рівновазі.

Раніше приведенням розподілених сил до центру і центральних осей було

Mz

отримано інтегральне співвідношення, що пов’язує крутний момент

z

dz

y

з дотичними напруженнями:

M z

( zy x zx y)dA

zy

A

Дотичне напруження довільного напрямку в кожній точці

Mz

K1

площині поперечного перерізу можна розкласти по двох інших

z

напрямах, а саме, по радіусу , що з'єднує точку з центром

dφ

x ваги перерізу, і по перпендикуляру до цього радіусу. Момент

K

щодо центральної осі z буде створювати лише друга компонента,

позначається одним символом . Тоді:

M

z

dA

A

dz

Mz

З цього співвідношення знайти напруження за відомим крутним моментом поки не

можна, оскільки закон зміни напружень по радіусу перерізу невідомий.

Отримана формула показує, що дотичні напруження лінійно залежать

плоскими (справедливо лише для круглих перерізів).

від відстані розглянутого волокна до центральної осі і приймають

на один і той самий кут (кут закручування).

Максимальні значення при = max:

max

M z

max

M z

.

Гука при зсуві:

G .

G d .

Умова

max

M z

.

I p

Wp

інтеграл:

d

d

dz

M z

міцності

Wp

при крученні: [τ] - допустиме дотичне

G

2

dA G

I

p.

d

dz

dz

dz

A

GI p

напруга матеріалу стрижня,

M z

W

R3

D4

Wρ - полярний момент

з для напружень:

.

2

16

.

опору:

I p

66

M zl . GI p

M z z l GI p 0

Лекція 16 (продовження – 16.3)

Аналіз напруженого стану при крученні - За законом парності дотичних напружень отримана формула для дотичних напружень, що виникають в поперечному перерізі, одночасно визначає дотичні напруження в площині, перпендикулярній подовжньому діаметральному

перерізу:

Кожен прямокутний елемент матеріалу відчуває напружений стан чистого зсуву.

	z
Mz
	Mz

Визначення кутів закручування - При виведенні формули дотичних напружень при крученні була отримана диференціальна залежність:

Кут закручування визначається з цього				d	M z	dz
диференціального співвідношення інтегруванням					GI p
лівої і правої частини:
	z
	M z	dz 0 ,	де 0 – кут повороту при z = 0.
	z0 GI p

В частковому випадку при постійному моменті Mz, постійнійжорсткості GIp і нерухомому перерізі на початку координат(φ0 = 0) отримуємо:

Цією формулою можна користуватися при визначенні кута для валу постійного або

ступінчастого постійного перерізу, навантаженого зосередженими моментами.

При цьому на кожній з ділянок, на якому крутний момент та жорсткість постійні, кут закручування

змінюється за лінійним законом. Як випливає із загальної формули визначення кута закручування, при

2z2

M2

побудові епюри кутів закручування ординати епюри відкладаються від рівня попереднього кута

1

II

закручування, тобто будуються наростаючим способом, враховуючи кут закручування попередньої

z1 I

z

ділянки.

Приклад: Побудувати епюру кутів закручування для стержня навантаженого зосередженими моментами :

M1=5M, M2=4M, де M – параметр навантаження, Ip2/Ip1 = 2.

I I

I

II

1. Переріз I-I (0 < z1< l):

M zI I

M ziсправа

M1 M 2 5M 4M M .

1

M z z1

Ml .

M1

M zII II

M ziсправа

M 2 4M .

GI p1

z1 l

GI p1

2. Переріз II-II (0 < z2< l):

l

l

M zII II z2

Ml

( 4M )l

Ml

2 1

.

M

+

M

GI p2

z1 l

GI p1

2GI p1

GI p1

Mz

Розрахунки на жорсткість - Вали машин зазнають змінного (динамічного) навантаження. При малій

Ml

4M

-

жорсткості валів можуть виникати небажані крутильні коливання. Тому, крім умов міцності

4M

повинні виконуватися умови жорсткості, що обмежують величину максимального кута закручування,

GI p1

поділеного на довжину (погонного кута закручування):

+

φ

max M z

розр .

-

67

GI p

Ml

GI p1

	Лекція 16 (продовження – 16.4)
Основні результати теорії кручення стержнів прямокутного перерізу - При розгляді деформацій кручення стержнів круглого перерізу
використовувалася гіпотеза плоских перерізів. При крученні стержнів прямокутного перерізу виникає депланація перерізу - точки плоского до
деформації поперечного перерізу додатково переміщуються з цієї площини по деякому нелінійному закону:
	M			M	y	w w(x, y).
					x	З малюнка видно, що кут зсуву елемента, виділеного на
						поверхні бруса, відбувається не тільки за рахунок нахилу твірних,
					z	а й за рахунок нахилу сторін, що лежать у поперечних перерізах:
					w =w (x,y)
						dz	dz
				При обчисленні дотичних напружень у кутових точках за формулою, виведеною при
				використанні гіпотези плоских перерізів (круглі перерізи), в кутах прямокутного перерізу
				повинні виходити максимальні дотичні напруження (ρ = ρ max), а насправді в цих точках прямий
				кут залишається прямим і дотичні напруження дорівнюють нулю.
Таким чином гіпотезу			Мембранна аналогія - дозволяє встановити якісну картину розподілу дотичних напружень. У теорії пружності
припущень, що
Наведемо деякі основні доводиться, що повне дотичне напруження пропорційно тангенсу кута нахилу дотичної до поверхні ідеальної
			гнучкої мембрани, натягнутої на контур перерізу, рівномірно розтягнутої в усіх напрямках і навантаженої
1.	Найбільші дотичні		постійно розподіленим поперечним навантаженням. Певне уявлення про таку мембрану дає мильна плівка, що					у
			видувається на дротяний контур.
	вигляді, подібному				Поперечне навантаження, наприклад, тиск повітря (дуття), викликає прогини
	y
			b		поверхні. Перерізи поверхні горизонтальними площинами дають лінії			bd 2 .
					рівних прогинів (горизонталі), відстані між якими обернено
b		x			пропорційні тангенсу кута нахилу дотичної і, отже, величиною
	1				дотичних напружень. Напрямок вектора дотичних напружень
1				d	збігається з дотичними до горизонталей.
					За допомогою мембранної аналогії можна якісно передбачити положення			∞
	d				точок, в яких виникають максимальні дотичні напруження (згущення			1/3
					горизонталей) і мінімальні (нульові). На малюнку зображені (з технічних причин)
					еліпси, насправді при наближенні до контуру повинні бути деякі овали. Проте			0,749
4. У кутах перерізу дотичні					можна побачити, що в кутах прямокутного контуру дотичні напруження повинні			1/3
напруження дорівнюють					перетворюватися в нуль.			68