Решітки множин і решітки типів
Можна також ввести відношення порядку для множин (підмножина множини) за допомогою предиката Підмн або зв'язуючого вузла з тим же ім'ям. При одноелементній підмножині Підмн замінюється на Елем. Ієрархія типів дозволяє впорядковано класифікувати властивості типів, а ієрархія множин – властивості множин. Введемо на концептуальних графах декілька функцій і операторів, що діють над множиною типів. Перш за все – функція тип. Вона відображає множину концептів на множині Т, елементи якого називаються мітками (ярликами) типу. Концепти с1 і с2 мають один тип, якщо тип(c1) = тип(с2). Денотатом типу t називається множина всіх тих сутностей, яка є конкретизаціями якогось концепту типу t. Оператор, що зіставляє типу t його денотат, позначається через Денот. Тип „студента університету” є підтип студента. Отже, денотат Денот(студент_університету) є підмножиною Денот(студент).
Кожній конкретизації (наприклад, Павло) зіставляється два види вузлів: вузол опису типу конкретизації і вузол опису множини, якій належить ця конкретизація. Таким чином, маємо три види вузлів: вузол, що представляє індивіда (конкретизацію), який через проміжні зв'язуючі вузли сполучений з вузлами типу (Конкр) і множини (Елем). Природно ввести четвертий вид: {х|тип} для довільного індивіда (х) певного типа (тип).
Студент х (про якого більше нічого не відомо) буде позначений {х|студ}. Цей вузол сполучений з вузлом, що представляє множину студентів, через зв'язуючий вузол Елем. З іншого боку, він сполучений з вузлом, що представляє тип професора, через зв'язуючий вузол Абст. Оператор Абст визначає тип (абстрактний концепт) по опису якого-небудь елементу цього типа. Нарешті, можна визначити оператор «прототип_для», який можна рахувати приблизно зворотним оператору Абст. Оператор «прототип_для» (Протот) представляється зв'язуючим вузлом, який сполучає тип з описом цього типа, що задається «прототипом». Останній дозволяє стисло описати світ, розділений на типи об'єктів. Опис, що задається прототипом, можна розглядати як опис деякого типового представника множини. Отже, прототип – різновид міфічної константи. Вузол прототип відрізняється від вузла {х|тип}, який представляє множину загальних властивостей об'єктів одного типа або однієї множини. У цьому сенсі оператори Абст і Протот не є взаємно зворотними.
Рис.5 Зв’язуючі вузли і вузли-концепти
Доведено, що решітки типів не ізоморфні решіткам множин. З абстрактним концептом «професора університету» пов'язана властивість володіння докторським ступенем. З іншого боку, цілком імовірно, що не кожен індивід з множини «професорів університету» має докторський ступінь. Отже, відповідні ієрархії типів і множин, не ізоморфні.
Можна визначити мітки типів, використовуючи так званий арістотелів підхід – через рід (genus) та відмінність (differentia). Тип визначається початковим типом рід і висловом, що називається відмінність і що відокремлює новий тип від початкового. Наприклад, Посилка – «подія (рід), яка відбувається, коли дві людини, відправник і одержувач, забезпечують переміщення предмету поштою (відмінність)». Формально:
тип Посилка (х) є Конкр (х, подія) (рід)
Відправник(Х, Людина_1) Одержувач(Х, Людина_2) Об'єкт(Х, Лист) Спосіб (Х, Пошта) Конкр(Людина_1, людина) Конкр(Людина_2, людина) ~Рівно(Людина_1, Людина__2) (відмінність)
Визначити який-небудь тип можна ще шляхом демонстрації декількох прикладів індивідів «якогось типа» і стверджуючи, що все, чим схожі індивіди, відноситься до обговорюваного типа. Прототип – це конкретизація типу або, інакше, типова конкретизація. Метод прототипів описує швидше типового індивіда якогось класу, чим довільного представника цього класу з набором характерних властивостей.
Прототип указує властивості, істинні в типовому, але не обов'язково у кожному окремому випадку. Він дозволяє гнучко визначати клас об'єктів. Прототип містить фіксовану частину (відповідну тому загальному, що є у всіх конкретизаціях цього класу) і змінну частину (обов'язкову чи ні, свою для кожної конкретизації).