Портфель Марковица минимального риска.

Рассмотрим математическую формализацию задачи формирования оптимального портфеля, которую предложил американский экономист Г. Марковиц в 1952г., за что позднее получил Нобелевскую премию.

Найдём доли вложений в ценные бумаги, минимизирующие вариацию портфеляпри условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля(). В такой постановке минимизация вариации портфеля равносильна минимизации риска портфеля, поэтому задача Марковица может быть сформулирована следующим образом: найти, минимизирующие риск портфеляпри условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля,.Обозначим– оптимальное решение этой задачи. Если, это означает рекомендацию вложить долюналичного капитала в ценные бумагиi-ого вида. Если , то это означает рекомендацию провести операцию «short sale» («короткая продажа»). Если такие операции невозможны, необходимо ввести ограничение .

Что это за операция? Инвестор, формирующий портфель, обязуется через какое-то время поставить ценные бумаги i-ого вида (вместе с доходом, какой они принесли бы их владельцу за это время). За это сейчас он получает их денежный эквивалент. Эти деньги он присоединяет к своему капиталу и покупает рекомендуемые оптимальным решением ценные бумаги. Т.к. ценные бумаги других видов более эффективны, то инвестор оказывается в выигрыше. Можно обойтись без операции «short sale», если инвестору доступны займы денежных средств по безрисковой ставке. Этот портфель минимального риска из всех портфелей заданной эффективности называется портфелем Марковица минимального риска. Риск есть функция его заданной эффективности.

Портфель Тобина минимального риска.

Через несколько лет после исследования Марковица другой крупнейший американский экономист Д. Тобин (также впоследствии лауреат Нобелевской премии) заметил, что если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает замечательное новое качество.

Пусть – эффективность безрисковых ценных бумаг, а– доля капитала, в них вложенного, тогда в рисковую часть портфеля вложена (1 –) часть всего капитала. Пусть– эффективность и– дисперсия рисковой части портфеля и– риск этой части. Тогда эффективность всего портфеля равна, дисперсия всего портфеля равнаи риск портфеля равен(считается, что безрисковые ценные бумаги некоррелированы с остальными). Исключая, получим, т.е. эффективность портфеля линейно зависит от его риска.

Задача Марковица об оптимальном портфеле ценных бумаг в этом случае формулируется следующим образом:

,

.

Изложим теперь окончательное решение этой задачи, полученное Тобиным. Пусть V – матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, – вектор-столбцы долейх капитала, вкладываемых в i-тый вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, i = 1,…, n. Пусть также I – n-мерный вектор-столбец, компоненты которого равны 1. Тогда оптимальное значение долей есть:

.

В числителе дроби стоит число, в знаменателе – тоже число, причём константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, – вектор-столбец размерностиn, не зависящий от эффективности портфеля . Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг также не зависит от. Однако сумма компонент векторазависит от, а именно, компоненты векторапропорционально увеличиваются с ростом, поэтому долябезрисковых вложений будет при этом сокращаться.

Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности. Для этого в формулу вариации портфеля подставим оптимальный вектор, обозначив знаменатель дроби через. Получим

Окончательно: или. Можно также написать выражение эффективности оптимального портфеля от его риска:или. Видно, что эти зависимости линейные. Полученный оптимальный портфель называетсяпортфелем Тобина минимального риска, т.е. портфель Тобина – это портфель Марковица при наличии на рынке безрисковых ценных бумаг.