Отсроченный аннуитет.

Рассмотрим некоторое обобщение аннуитета, когда первый из потока платежей начинает поступать через h периодов. Такой аннуитет называется отсроченным. Первое денежное поступление осуществляется в конце (h + 1)-ого периода.

С С С …. С

0 1 2 …. h h+1 h+2 h+3 …. h+n

Отсроченный аннуитет постнумерандо.

Стоимость этого аннуитета на начало периода, когда поступает первый платёж, можно найти по формуле (4.7) и затем, осуществляя учёт полученной величины за h периодов, определить приведённую стоимость отсроченного аннуитета на начальный момент времени:

.

Будущая стоимость аннуитета определяется просто по формуле (4.1), т.е. число h в этом случае явным образом не фигурирует.

Задача. Банк предлагает ренту постнумерандо на 10 лет с ежеквартальной выплатой $100. Годовая процентная ставка в течение всего периода остаётся постоянной. По какой цене можно приобрести такую ренту, если выплаты начнут осуществляться: а) немедленно; б) через 2 года; в) через 3,5 года? Процентная ставка равна 4%, 12% годовых.

Определим приведённую стоимость ренты во всех случаях. Число периодов n = 10 · 4 = 40. Тогда ставка за период будет соответственно 1%, 3% .

а) Первая выплата произойдёт через 3 месяца (в конце первого квартала):

б) h = 2 · 4 = 8 (первая выплата произойдёт через 2 года 3 месяца):

в) h = 3,5 · 4 = 14 (первая выплата произойдёт через 3 года 9 месяцев):

Из расчётов видно, что с ростом процентной ставки и срока, после которого начнутся выплаты, приведённая стоимость уменьшается.

Задача. Расчёты показывают, что инвестиция в некоторый проект обеспечит получение в будущем в конце каждого полугодия дохода 50 000 руб. в течение 8 лет, причём первый платёж ожидается через 4,5 года. Какую сумму можно вложить в проект, если существует также возможность помещения денег на депозит под сложную процентную ставку 24% годовых с ежеквартальным начислением процентов?

Найдём приведённую стоимость ожидаемого отсроченного аннуитета. В данном случае имеем отсроченный на 4 года (на 8 полугодий, т.е. на 8 периодов аннуитета) аннуитет постнумерандо.

n = 8, i = 24%, m = 4, p = 2, С = 50 000.

Приведённая стоимость аннуитета на начало 5-ого года составит (см. (4.11)):

(руб.).

Теперь дисконтируем эту величину за 4 года:

(руб.).

Для проверки найдём будущую стоимость аннуитета (см.(4.5)):

(руб.).

Дисконтируем за 8 + 4 = 12 лет:

(руб.).

Оценка постоянного аннуитета пренумерандо.

Если на денежные поступления начисляются сложные проценты, то соответствующие расчётные формулы для наращенных сумм аннуитета пренумерандо можно вывести из формул (4.1), (4.3), (4.4), (4.5).

. (5.1)

Для аннуитета пренумерандо с начислением процентов m раз в течение базового периода имеем:

. (5.2)

Для p-срочных аннуитетов имеем:

; (5.3)

. (5.4)

, для получателя денежные поступления пренумерандо выгоднее, т.к. они начинаются на период раньше, чем постнумерандо.

В случае начисления сложных процентов формулы для расчёта приведённых стоимостей аннуитетов пренумерандо имеют вид, аналогичный формулам (5.1) – (5.4):

; (5.5)

; (5.6)

; (5.7)

. (5.8)

Имеем: .

Задача. Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 000 руб.. Банк устанавливает годовую номинальную процентную ставку 20%. Какая сумма будет на счёте по истечении 3-х лет, если начисление сложных процентов происходит: а) ежегодно; б) ежеквартально?

В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо, будущую стоимость которого и предлагается оценить.

n = 3, i = 20%, m = 4, С = 10 000.

а) (руб.);

б)

Многие практические задачи могут быть решены различными способами в зависимости от того, какой денежный поток выделен аналитиком.

Задача. Вам предложено инвестировать 100 000 руб. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 000 руб.). По истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 000 руб.. Принимать ли это предложение, если можно «безопасно» депонировать деньги в банк из расчёта 12% годовых?

Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две суммы. При депонировании денег в банк к концу 5-летнего периода на счёте будет сумма:

(руб.).

В отношении альтернативного варианта предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 000 руб. можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. денежный поток в этом случае можно представить двояко:

а) как срочный аннуитет постнумерандо с n = 5, i = 12%, С = 20 000 и единовременное получение суммы в 30 000 руб.;

б) как срочный аннуитет пренумерандо с n = 4, i = 12%, С = 20 000 и единовременное получение сумм в 20 000 и 30 000 руб..

а)

б)

Естественно, оба варианта привели к одинаковому результату, предложение экономически нецелесообразно.

При решении задачи можно сравнить 100 000 руб. с приведённой стоимостью денежного потока:

(руб.).

Вывод, естественно, тот же: предложение экономически нецелесообразно.