Портфель Марковица и Тобина максимальной эффективности.

Постановку Марковица задачи формирования оптимального портфеля можно сформулировать так: сформировать портфель минимального риска из всех портфелей, имеющих эффективность не менее заданной.

Но столь же естественна и задача формирования портфеля максимальной эффективности из всех портфелей, имеющих риск не более заданного: найти (), максимизирующие ожидаемую эффективность портфеля

при условии, что обеспечивается заданное значение риска портфеля, т.е. .

Данная формализация называется портфелем Марковица максимальной эффективности.

Если на рынке есть безрисковые бумаги, то задача формирования портфеля максимальной эффективности имеет решение, похожее на решение Тобина: оптимальное значение долей х рисковых бумаг есть

. (10.2)

В матрично-векторной форме задача формирования портфеля максимальной эффективности при наличии на рынке безрисковых ценных бумаг такова:

Для нахождения условного максимума составим функцию Лагранжа

Условия стационарности имеют вид:

Решая полученную систему, получим:

.

Для нахождения подставим найденноеХ в равенство :

(т.к. матрица V симметрична, то транспонированная обратная к ней матрица совпадает с обратной).

.

Обозначим , тогда.

Окончательно , т.е. формулу (10.2).

Опять видно, что структура рисковой части оптимального в этом смысле портфеля также не зависит от ограничения на величину риска.

Выразим эффективность портфеля максимальной эффективности в зависимости от заданного риска , т.е. найдём величину, гдеи– оптимальные доли вложений.;=

Видим, что эта зависимость линейная.

Замечание. Структура рисковой части оптимального портфеля одна и та же в обеих постановках и не зависит от задаваемых доходности или риска портфеля.