Оценка финансовых операций в условиях неопределённости. Определение и сущность риска.

Рассмотрим классическую схему принятия решений в условиях неопределённости.

Напомним, что финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку, и цель проведения которой заключается в максимизации дохода – разности между конечной и начальной оценками. Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределённости и поэтому их результат невозможно предсказать заранее. Проводящий операцию называется ЛПР – Лицо, Принимающее Решение (во многих случаях ЛПР – это инвестор). Операция называется рискованной, если она может иметь несколько исходов, не равноценных для ЛПР.

Задача. Рассмотрим 3 операции с одним и тем же множеством двух исходов – альтернатив А и В, которые характеризуют доходы, получаемые ЛПР.

	А	В
О1	-5	25
О2	-10	50
О3	15	20

Все 3 операции рискованные. Для 1-ой и 2-ой это очевидно, но почему считается рискованной 3-я операция? Ведь она сулит только положительные доходы ЛПР? Рассматривая возможные исходы 3-ей операции, видим, что можем получить доход в размере 20 ед., поэтому возможность получения дохода в 15 ед. рассматривается как неудача, как риск недополучить 5 ед. дохода.

Как оценить финансовую операцию с точки зрения её доходности и риска? На этот вопрос не так просто ответить, главным образом из-за многогранности понятия риска. Существует несколько разных способов такой оценки. Рассмотрим один из таких подходов.

Матрицы последствий и рисков. Пусть рассматривается вопрос о проведении финансовой операции, имеющей несколько возможных исходов. В связи с этим проводится анализ возможных решений и их последствий. Предположим, что ЛПР рассматривает m возможных решений: i = 1,…, m. Ситуация неопределённа, известно лишь, что имеет место один из n вариантов: j = 1,…, n. Если будет принято i-тое решение, а ситуация сложится j-тая, то доход, полученный ЛПР будет равен q_ij. Матрица Q = (q_ij) называется матрицей последствий (возможных решений). Какое же решение нужно принять ЛПР? В этой неопределённой ситуации могут быть высказаны лишь некоторые рекомендации. Они не обязательно будут приняты ЛПР. Многое будет зависеть, например, от его склонности к риску. Но как оценить риск в данной схеме? Допустим, мы хотим оценить риск, который несёт i-тое решение. Нам неизвестна реальная ситуация, но если бы мы её знали, то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший доход. Если ситуация j-тая, то принимается решение, дающее доход . Значит, принимаяi-тое решение, мы рискуем получить не , а толькоq_ij, т.е. принятие i-того решения несёт риск недобрать . МатрицуR = () называютматрицей рисков.

Задача. Пусть есть матрица последствий:.

Составим матрицу рисков:.

Ситуация полной неопределённости характеризуется отсутствием какой бы то ни было дополнительной информации (например, о вероятностях тех или иных вариантов реальной ситуации). Какие же существуют правила-рекомендации по принятию решений в этой ситуации?

Правило Вальда (правило крайнего пессимизма). Если руководствоваться этим критерием, надо всегда ориентироваться на худшие условия, зная наверняка, что «хуже этого не будет». Рассматривая i-тое решение, будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е. приносящая самый малый доход: . Теперь выберем решениеi₀ с наибольшим :. В задаче имеемИз этих чисел находим максимальное – 3. Правило Вальда рекомендует принять 3-е решение. Очевидно, такой подход – «перестраховочный», естественный для того, кто очень боится проиграть.

Правило Сэвиджа (правило минимального риска). Этот критерий тоже крайне пессимистический, но при выборе оптимальной стратегии советует ориентироваться не на величину дохода, а на риск. При применении этого правила анализируется матрица рисков R = ().Рассматриваяi-тое решение, будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимального риска . Теперь выберем решениеi₀ с наименьшим :. В задаче имеемВ задаче имеемИз этих чисел находим минимальное – 5. Правило Сэвиджа рекомендует принять 3-е решение. Сущность такого подхода в том, чтобы всячески избегать большого риска при принятии решения.

Правило Гурвица (пессимизма-оптимизма). Этот критерий рекомендует при выборе решения не руководствоваться ни крайним пессимизмом, ни крайним оптимизмом. Принимается решение, при котором достигается максимум , где- «коэффициент пессимимзма». Значениевыбирается из субъективных соображений. Еслиприближается к 1, правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближениик 0 правило Гурвица приближается к правилу «крайнего оптимизма», рекомендующему выбирать ту стратегию, при которой выигрыш в строке максимален. В задаче прикритерий Гурвица рекомендует 2-ое решение.

Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности того, что реальная ситуация развивается по вариантуj. Такое положение называется частичной неопределённостью. Какие рекомендации по принятию решения в этом случае? Можно руководствоваться одним из следующих правил.

Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, получаемый компанией при реализации i-ого решения, является случайной величиной с законом распределения

	qi1	qi2	…	qin
			…

Математическое ожидание этой случайной величины и есть средний ожидаемый доход. Критерий рекомендует принять решение, максимизирующее средний ожидаемый доход.

Задача. Пусть в предыдущей задаче ТогдаМаксимальный средний ожидаемый доход равен 7, что соответствует 3-ему решению.

Правило минимизации среднего ожидаемого риска. Риск компании при реализации i-ого решения является случайной величиной с законом распределения

	ri1	ri2	…	rin
			…

Математическое ожидание этой случайной величины и есть средний ожидаемый риск. Критерий рекомендует принять решение, минимизирующее средний ожидаемый риск.

Задача. В условиях предыдущей задачи Минимальный средний ожидаемый риск равен 7/6, что соответствует 3-ему решению.

Замечание. Отличие частичной (вероятностной) неопределённости от полной неопределённости очень существенно. Конечно, принятие решений по правилам Вальда, Сэвиджа, Гурвица никто не считает окончательными. Это лишь первый шаг, некоторые предварительные соображения. Далее пытаются узнать что-то о вариантах реальной ситуации, в первую очередь о возможности того или иного варианта, о его вероятности; но это уже предполагает повторяемость рассматриваемой схемы (во времени или пространстве).Количественная оценка риска финансовой операции возможна только при вероятностной характеристике множества исходов операции.

Вернёмся к рассмотрению случайной величины , которую назовёмслучайным доходом. Применим аппарат теории вероятностей, чтобы найти характеристики финансовой операции.

Средний ожидаемый доход (эффективность операции) – математическое ожидание случайной величины :

(др. обозначение ).

Дисперсия финансовой операции – дисперсия случайной величины :

.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины :

.

Риском операции называется число - среднее квадратическое отклонение случайного дохода(результата финансовой операции). Предлагаемая количественная оценка риска вполне согласуется с интуитивным пониманием риска как степени разбросанности исходов операции.

Следующие утверждения о риске являются следствиями соответствующих утверждений о дисперсии и среднем квадратическом отклонении из теории вероятностей.

1. При увеличении всех значений случайного дохода в k раз, эффективность операции увеличивается в k раз, а риск – в раз.

2. При изменении всех доходов на одно и то же постоянное число эффективность операции также увеличивается на это число, а риск не изменяется.

3. Пусть финансовые операции инекоррелированы, тогда дисперсия их суммы равна сумме дисперсий, поэтому риск суммарной операции равен.

4. В общем случае, т.е. для двух произвольных операцийи, риск суммарной операции равен, где– коэффициент корреляции случайных доходов операций. Напомним, что случайные величины X и Y называютсянекоррелированными, если их корреляционный момент равен 0; корреляционный момент и коэффициент корреляции связаны формулой:; независимые случайные величины некоррелированы.

5. Задача. Пусть операции инекоррелированы, найдём риск операции Q =(например, денег не хватит на проведение обеих операций в полном объёме):

: -5 25 : 15 25

0,01 0,99 0,5 0,5

Сначала вычислим математическое ожидание: .

Дисперсия .

Аналогичные вычисления для второй операции: ;. (Первая операция менее рискованная, что подсказывает и интуиция).

.