Учебное пособие по ТВ и МС

отдельных испытаний, каждое из которых может завершиться лишь одним из двух вариантов 0 и 1. Таким образом, элементарный исход ω = (θ1 ,K,θn ) представляет собой «протокол» проведенной серии из n испытаний. Согласно

установившейся традиции, если	θi =1,	то	говорят,	что	i -е	испытание
завершилось «успехом»; если	θi = 0 ,	то	говорят,	что	i -е	испытание
завершилось «неуспехом».

Пример 1.3. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом. Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного, но счетного числа исходов: Ω = {г, рг, ррг, рррг, ррррг, рррррг, . . . }, где р и г обозначают выпадение решки и герба при одном подбрасывании, соответственно.

Пример 1.4. На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента можно считать координату центра монеты (а если нам не безразличен угол поворота монеты, то можно добавить и величину этого угла). Пространство элементарных исходов — множество точек стола (в втором случае

– множество пар {(x, ϕ)}, где x R2 – точка стола и (р [0,2π) – угол поворота). Число элементарных исходов такого эксперимента несчетно.

Упражнение	1.1.	Для	вероятностей, определенных формулой (1.3),
проверить выполнение условия:			∑P(ω) =1.
			ωΩ
		1.3. Понятие события
Определение	1.2.	Произвольные подмножества A Ω множества

элементарных исходов называются событиями. Пустое множество называется невозможным событием, все множество Ω − достоверным событием. Любое событие, состоящее из одного элемента, называется

элементарным.

Определение 1.3. Вероятностью события A называется число

P(A) = ∑P(ω).

ω A

Зафиксируем некоторое подмножество A {ω1 ,K,ωK }. Если исход

эксперимента ω принадлежит A, то говорят, что произошло событие A, если ω A, то говорят, что событие A не произошло.

Пример 1.5. Бросание двух игральных костей. Рассмотрим события:

A = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} и B = A {(6,6)}.

Словами эти события можно описать следующим образом:

11

A = {суммарное число очков равно 6},

B = {суммарное число очков делится на 6}. Очевидно, что P(A) = 365 , P(B) = 16 .

Пример 1.6. Рассмотрим вероятностное пространство (Ω, P) из примера 1.2 и введем множества

Ai = {(θ1 ,K,θi−1 ,1,θi+1 ,K,θn ) : j ≠ i θ j = 0}.

(1.4)

Ясно, что Ai есть собственное подмножество множества Ω, определенного формулой (1.2), и, следовательно, Ai есть событие. Очевидно, что его можно описать словами следующим образом:

Ai = { i -е испытание закончилось «успехом»}.

Упражнение 1.2. Показать, что для любого события Ai вероятность

P(Ai ) = p .

Смысл параметра p в определении схемы испытаний Бернулли очень прост: это вероятность «успеха» в отдельном единичном испытании.

Замечание 1.1. Для того чтобы любая проблема могла изучаться математическими методами, вначале ее необходимо формализовать или, как принято говорить, построить ее математическую модель. В данном случае задача сводится к выбору вероятностного пространства. Замечательно то, что, изучая строгие математические модели, мы, тем не менее, можем использовать нашу жизненную интуицию и «здравый смысл». Этому способствует так называемый язык теории вероятностей, перекидывающий мостик между теоретико-множественными конструкциями и привычной обиходной лексикой.

При построении вероятностных пространств, соответствующих реальным практическим задачам, полезно держать в голове следующую схему. Имеется некоторый «виртуальный» (то есть, воображаемый) эксперимент, возможные исходы которого ω1 ,K,ωK . Эксперимент завершается только одним исходом ω , который заранее нельзя предугадать в точности.

1.4. Операции над событиями

Рассмотрим теперь, как язык теории вероятностей трактует теоретикомножественные операции.

Если A – событие, то его теоретико-множественное дополнение

A = Ω \ A = {ω : ω A}

12

тоже есть событие A , называемое отрицанием (или противоположным

событием) события A. Событие A происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A.

Если A и B – события (A, B Ω), то A B, A ∩ B и A \ B – также события, которые можно описать следующим образом:

A B = { произошло хотя бы одно из событий A или B},

A ∩ B = { одновременно происходят события A и B},

A \ B = { произошло событие A, но не произошло B}.

Рис. 1.1. Операции над событиями: отрицание, объединение, пересечение и разность

Если A ∩ B = , то говорят, что A и B несовместны (не могут произойти одновременно). Принято писать AB вместо A ∩ B. Если AB = , то вместо A B пишут A + B.

Упражнение 1.3. Обратимся снова к последовательности испытаний Бернулли. Пусть события Ai, i = 1, …, n, определены формулой (1.4). Проверить, что для произвольного набора индексов {j1, …, jk} {1, …, n}

справедливо P(Aj1 ,K, Ajk ) = pk .

Указание: воспользоваться методом математической индукции.

1.5.Простейшие свойства вероятностей

Вданном параграфе мы покажем, какие свойства вероятности P имеют место по отношению к только что введенным операциям над событиями.

Предложение 1.1. Пусть A и B – некоторые события, т.е. A, B Ω. Имеют место следующие свойства:

13

1)0 ≤ P(A) ≤ 1, P( ) = 0, P(Ω) = 1;

2)Если AB = , то P(A+B) = P(A B) = P(A) + P(B);

3)Если AB ≠ , то P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Доказательство.

ω P(ω) ≥ 0 P(A) = ∑ P(ω) ≥ 0.

∑ P(ω) ≤ ∑ P(ω) =1.			ωΩ
ω A	ωΩ
В случае, когда AB = ,
P( A B) = ∑P(ω) = ∑P(ω) + ∑P(ω) = P( A) + P(B).
	ω A B	ω A	ω B

В общем случае имеет место представление:

A B = (A\B) + (B\A) + AB.

Следовательно,

P(A B) = ∑P(ω) + ∑ P(ω) + ∑P(ω).

ω A\B

ω B\ A

ω AB

Заметим, что A = (A\B) + AB. Следовательно, по свойству 2

P(A) = P(A\B) + P(AB) P(A\B) = P(A) − P(AB).

Аналогично, P(B\A) = P(B) − P(AB). Итак,

P(A B) = P(A\B) + P(B\A) + P(AB) = (P(A) − P(AB)) + (P(B) − P(AB)) + P(AB) = = P(A) + P(B) − P(AB).

Предложение 1.2. (Теорема сложения вероятностей). Пусть A1, … , An –

события. Тогда справедливы утверждения.

1.Если i≠j AiAj = , то P(A1 + … + An) = P(A1) + … + P(An).

2.В общем случае справедливо равенство

n
P( A1 K An ) = ∑P( Ai ) − ∑P( Ai1 Ai2 ) +
i=1	i1<i2

+ ∑P(Ai1 Ai2 Ai3 ) −K+ (−1)n−1 P(A1 KAn ). #

i1 <i2 <i3

14

Упражнение 1.4. Доказать это предложение.

1.6. Классическое определение вероятностей

Под классическим определением вероятностей подразумевают выбор такого конечного вероятностного пространства, в котором все элементарные исходы равновероятны:

|Ω| < ∞, ω1 ≠ ω2 P(ω1) = P(ω2).

Покажем, что тогда с необходимостью P(ω) = Ω1 .

Действительно, пусть ω P(ω) = a. Имеем

1 = ∑P(ω) = a

Ω

a =

1

.

Ω

ωΩ

Следовательно, вероятность любого события A = {ω1 ,K,ωK } равна:

P( A) =

A

,

(1.5)

Ω

которая читается так: вероятность события есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Замечание 1.2. Следует отметить, что формула (1.5) справедлива только для случая, когда все исходы равновероятны.

Замечание 1.3. Полезно помнить классическую формулировку Якоба Бернулли: «Вероятность есть степень достоверности, и отличается от нее как часть от целого». (Ars Conjectandi, 1713 г.)

Замечание 1.4. Мы видим теперь, что подсчет вероятности в классической схеме сводится к подсчету числа «шансов» (элементарных исходов), благоприятствующих какому-либо событию, и общего числа шансов. Как правило, это делается с помощью формул комбинаторики.

1.7. Геометрическая вероятность

Рассмотрим некоторую область Ω в Rn (на прямой, на плоскости, в пространстве). Предположим, что «мера» Ω (длина, площадь, объем, соответственно) конечна. Пусть случайный эксперимент состоит в том, что мы наудачу бросаем в эту область точку (см. рис. 1.2).

15

Ω

A

Рис. 1.2.

Термин «наудачу» здесь означает, что вероятность попадания точки в любую часть A с Ω не зависит от формы или расположения А внутри Ω, а зависит лишь от «меры» области А (если А измеримо, см. замечание 1.5).

Определение 1.4. Эксперимент удовлетворяет условиям «геометрического определения вероятности», если его исходы можно изобразить точками некоторой области Ω в Rn так, что вероятность попадания точки в любую часть A Ω не зависит от формы или расположения А внутри Ω, а зависит лишь от меры области А (и, следовательно, пропорциональна этой мере):

P( A) = ΩA .

«Мерой» мы пока будем называть длину, площадь, объем и т.д. Если для точки, брошенной в область Ω, выполнены условия геометрического определения вероятности, то говорят, что точка равномерно распределена в области Ω.

Пример 1.7. Точка наудачу бросается на отрезок [0,1]. Вероятность точке попасть в точку 0,5 равна нулю, так как мера множества, состоящего из одной точки («длина точки»), есть 0. Вместе с тем попадание в точку 0,5 не является невозможным событием – это один из элементарных исходов эксперимента.

Пример 1.8. (Задача о встрече). Два лица X и Y условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

Решение. Будем считать интервал с 14 до 15 часов дня отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть ξ и η − моменты прихода X и Y (точки отрезка [0,1]). Все возможные результаты эксперимента − множество точек квадрата со стороной

1: Ω = {(ξ,η): 0 ≤ ξ ≤ 1, 0 ≤ η ≤ 1} = [0,1] × [0,1].

16

Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. При этом благоприятными исходами (см. рис. 1.3) являются точки множества A = {(ξ,η): ξ − η ≤ 1/6} (10 минут = 1/6 часа).

Рис. 1.3.

То есть попадание во множество A наудачу брошенной в квадрат точки означает, что X и Y встретятся. Тогда вероятность встречи равна

P( A) =		A	=	1 − (5 / 6)2	=	11.
		Ω		1
						36

Пример 1.9. (Задача Бюффона). На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена игла длины 2l < 2а. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из прямых?

Решение. Выясним, что означает здесь «наудачу брошена игла». Возможные положения иглы (отрезка) на плоскости полностью определяются положением середины иглы и углом поворота иглы относительно какого-либо направления. Причем две эти переменные (положение центра и угол поворота) меняются независимо друг от друга.

Обозначим через x [0,а] расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, а через ϕ [0,π] − угол между направлением прямых и иглой. Множество возможных положений иглы целиком определяется выбором наудачу точки из прямоугольника Ω = [0,π]×[0,а] (см. рис. 1.4,а). Игла пересекает ближайшую прямую, если координаты выбранной наудачу точки удовлетворяют неравенству: x ≤ l sinϕ.

Площадь области A Ω, точки которой удовлетворяют такому неравенству (см. рис. 1.4,б) равна

		π		π
A		= ∫l sinϕdϕ = − l cosϕ		= 2l.
0			0

17

а)

б)

Рис. 1.4.

Т.к. Ω = aπ, то искомая вероятность равна

P( A) = ΩA = a2πl .

Пример 1.10. (Парадокс Бертрана). В круге единичного радиуса наудачу выбирается хорда. Какова вероятность того, что ее длина будет больше, чем длина стороны вписанного в круг правильного треугольника?

Решение. Существует, по крайней мере, три способа «выбрать наудачу хорду в круге».

1.Зафиксируем одну точку (конец хорды) на окружности и выберем наудачу на окружности другую точку (второй конец хорды). Здесь Ω = [0,2π], а благоприятными являются положения второй точки на интервале [2π/3,4π/3] (см. рис. 1.5,а). Вероятность получить «длинную» хорду равна 1/3.

2.Существует ровно одна хорда, для которой данная точка в круге является серединой. Кроме того случая, когда брошенная наудачу точка попадет в центр круга. Но, т.к. вероятность этого события равна нулю, то учет или неучет такого события не влияет на итоговую вероятность. Можно поэтому выбирать наудачу хорду, бросая наудачу точку (середину хорды) в

круг. Здесь Ω − круг радиуса 1, Ω = π, а благоприятными являются положения середины хорды внутри вписанного в треугольник круга (радиусом 1/2). Вероятность получить «длинную» хорду равна (рис. 1.5,б) отношению площадей кругов, то есть 1/4.

3. Наконец, можно ограничиться рассмотрением только хорд, перпендикулярных какому-либо диаметру (остальные могут быть получены поворотом). То есть эксперимент может состоять в выборе середины хорды наудачу на диаметре круга − отрезке длиной 2. Благоприятными являются положения середины хорды на отрезке длиной 1. Искомая вероятность для такого эксперимента равна 1/2.

18

а)

б)

в)

Рис. 1.5.

В чем причина разницы в ответах на, казалось бы, один и тот же вопрос? На самом деле формулировка задачи не корректна с математической точки зрения. «Выбор наудачу хорды в круге» может быть по-разному описан с помощью геометрического определения вероятности (что мы и сделали). То есть этот «эксперимент» можно по-разному описать с помощью выбора наудачу точки в некоторой области.

Слово «эксперимент» взято в кавычки не напрасно: сказав «в круге наудачу выбирается хорда», мы еще не описали физического эксперимента. Действительно, каждому из трех предложенных способов выбора хорд можно сопоставить конкретный физический эксперимент (всякий раз другой).

Так что парадокс исчезает сразу, как только получен ответ на вопрос: что значит «в круге наудачу выбирается хорда»?

Замечание 1.5. Если даже эксперимент удовлетворяет геометрическому определению вероятности, далеко не для всех множеств A Ω, вероятность может быть вычислена как отношение меры A к мере Ω. Причиной этого является существование так называемых «неизмеримых» множеств, то есть множеств, мера которых не существует.

А если не для всех подмножеств Ω мы можем определить их вероятности, следует сузить класс множеств, называемых «событиями», оставив в этом классе только те множества, для которых мы можем определить вероятность.

1.8. Условные вероятности

Нередко мы сталкиваемся с необходимостью оценить «шансы» интересующего нас события A в ситуации, когда нам известно о том, что произошло некоторое другое событие B. Для этого вводится понятие условной вероятности.

19

Пример 1.11. Кубик подбрасывают один раз. Известно, что выпало более трех очков. Какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков?

В данном случае пространство элементарных исходов состоит из трех равновозможных элементарных исходов: Ω = {4,5,6}, и событию A = {выпало четное число очков} благоприятствуют 2 из них: А = {4,6}. Поэтому P(А) = 2/3. Посмотрим на этот вопрос с точки зрения первоначального эксперимента. Пространство элементарных исходов при одном подбрасывании кубика состоит из шести точек: Ω = {1,2,3,4,5,6}. Слова «известно, что выпало более трех очков» означают, что в эксперименте произошло событие B = {4,5,6}. Слова «какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков?» означают, что нас интересует, в какой доле случаев при осуществлении B происходит и А. Вероятность события А, вычисленную в предположении, что нечто о результате эксперимента уже известно (событие B произошло), мы будем обозначать через P(A/B).

Мы хотим вычислить отношение числа исходов, благоприятствующих A внутри B (то есть благоприятствующих одновременно A и В), к числу исходов, благоприятствующих B (рис. 1.6)

P( A / B) =	2	=	2 / 6	=	P( A ∩ B)	.
	3		3 / 6
					P(B)

Рис. 1.6.

Пусть A и B – два события, причем P(B) > 0.

Определение 1.5. Условной вероятностью события A относительно события B называется величина

P( A / B) = PP((ABB)) .

Во многих задачах условные вероятности находятся из контекста проще, чем безусловные.

Если нам известна условная вероятность P(A/B), мы можем вычислить вероятность произведения событий P(AB):

20