- •Экзаменационный билет № 01
- •Экзаменационный билет № 02
- •Экзаменационный билет № 03
- •Экзаменационный билет № 04
- •Экзаменационный билет № 05
- •Экзаменационный билет № 06
- •Экзаменационный билет № 07
- •Экзаменационный билет № 08
- •Экзаменационный билет № 09
- •Экзаменационный билет № 10
- •Экзаменационный билет № 11
- •Экзаменационный билет № 12
- •Экзаменационный билет № 13
- •Экзаменационный билет № 14
- •Экзаменационный билет № 15
- •Экзаменационный билет № 16
- •Экзаменационный билет № 17
- •Экзаменационный билет № 18
- •Экзаменационный билет № 19
- •Экзаменационный билет № 20
Экзаменационный билет № 18
1. Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности на отрезке при (не)нулевых граничных условиях ,.
2. Функция распределения случайной величины, её свойства. Доказать, что неубывающая.
3. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в кольце. ГУ:.
4. Дана схема:
.
Найти вероятность того, что цепь выйдет из строя, если – вероятность выхода из строя любого элемента цепи.
1. Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности на отрезке при ненулевых граничных условиях имеет вид:
, ,,
граничные условия: ,;
начальное условие: .
Прежде, чем применить метод Фурье сделаем замену, сводящую к задаче с однородными краевыми условиями. Замена имеет вид:
,
где – новая неизвестная функция.
Находим
, ,,
: ,
: ,
:
.
Итак, для функции получим смешанную задачу
, ,,
, ,
.
Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
,
: ,
, ,.
Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений
, .
Из граничных условий получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля
: ,
, .
Поскольку (призадача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравненияимеет вид
.
Из краевого условия получаем:, т.е..
Из краевого условия получаем:. Посколькуи, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения ,;
собственные функции ,.
Теперь при каждом решаем уравнение для:
, .
Общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Для нахождения коэффициентов ,, воспользуемся начальным условием.
Разложим функции на отрезкев ряд Фурье по системе:
,
где
,
так как .
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, .
Тогда решением задачи для является ряд
.
Значит,
,
где
.
2. Определение. Функцией распределения случайной величины называется определенная на всей числовой оси функция
.
Основные свойства функции распределения:
1) для всех ;
2) ,;
3) – неубывающая на, т.е. для любыхиз того, чтоследует, что.
Докажем последнее свойство. Пусть ,– произвольные действительные числа, причем. Тогда
,
откуда
,
то есть .
Кроме того, при доказательстве была получена формула
,
которая позволяет проводить расчет вероятностей для случайной величины, если известна её функция распределения.
3. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в кольце. ГУ:.
3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце ставится следующим образом:
при ,
,
где – оператор Лапласа в полярных координатах,(,). Граничные условия преобразуем в полярные координаты:
,
.
Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности
.
Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.
Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде
,
Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
,
откуда
,
.
Из условия периодичности следует, что
, .
Таким образом, для получаем задачу на собственные значения
,
.
Если , то
.
Применяем условие периодичности:
.
Отсюда, ,,.
Если , то
.
Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.
При ненулевых периодических решений нет.
Окончательно имеем
, .
Чтобы решить уравнение для при, сделаем замену. Получим
, ,
откуда
,
т.е.
, .
При получим.
Таким образом, функции
,
являются частными решениями уравнения . Составим функцию
,
которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.
Для нахождения ,,, воспользуемся граничными условиями.
Из условия имеем:
,
откуда
, ,,,
, ,
,
Из условия имеем:
,
откуда
, ,,,
, ,
,
Из системы
, ,
находим ,.
Из системы
, ,
находим ,.
Из системы
, ,
находим ,.
Из системы
, ,
находим ,.
Из систем
, ,,
находим ,,.
Из систем
, ,,
находим ,,.
Тогда в ряде для ненулевыми являются только коэффициенты
, ,,,,,,.
Окончательно решение заданной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кольце имеет вид
.
4. Обозначим события – вышел из строя-й элемент,(рис.). Дана схема:
По условию
.
Пусть событие – выход из строя цепи. Событиепроисходит тогда и только тогда, когда выйдет из строя элемент 3 или хотя бы один из элементов 1 и 2, т.е.
.
Считая, что выход элементов из строя происходит независимо друг от друга, по теореме умножения и теореме сложения находим
.