Экзаменационный билет № 05

1. Смешанная задача для однородного волнового уравнения на отрезке при нулевых граничных условиях.

2. Плотность распределения вероятностей случайной величины. Её связь с функцией распределения. Вывести формулу для нахождения вероятности попадания случайной величины в промежуток , если известна её плотность вероятности.

3. Найти решение смешанной задачи

, ,

ГУ: ; НУ:.

4. В первой коробке 20 радиоламп, из них 18 стандартных, а во второй 10, из которых 9 стандартных. Из второй коробки взята наудачу лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлечённая из первой коробки, будет стандартной.

1. Смешанная задача для однородного волнового уравнения на отрезке при нулевых граничных условиях имеет вид:

, ,,

граничные условия: ;

начальные условия: ,.

Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, ,.

Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку (призадача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравненияимеет вид

.

Из краевого условия получаем:, т.е..

Из краевого условия получаем:. Посколькуи, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения ,;

собственные функции ,.

Теперь при каждом решаем уравнение для:

, .

Общее решение этого уравнения имеет вид

.

Тогда

.

Для нахождения коэффициентов ,,, воспользуемся начальными условиями,.

Разложим функции ина отрезкев ряды Фурье по системе:

,

,

где

,

,

так как .

Тогда начальное условие дает

,

откуда

, .

Находим :

.

Тогда начальное условие дает

,

откуда

, ,.

Тогда решением задачи является ряд

.

2. Пусть – функция распределения случайной величины. Функциюназывают плотностью распределения вероятностей случайной величины(или плотностью вероятности).

Из равенства следует, что. Действительно, так как, то. Тогда, т.к.,

.

Кроме того, поскольку , то.

Условие называется условием нормировки.

С помощью плотности распределения вероятностей можно рассчитывать вероятность попадания случайной величины в промежуток. Поскольку

,

то

.

3. Поскольку граничные условия задачи ,– неоднородные, то сначала сделаем замену, сводящую к однородным краевым условиям. Положим

,

где – новая неизвестная функция, а числаиподберем так, чтобыудовлетворяла граничным условиям:,. Тогда

, ,

откуда ,.

Итак, делаем замену

.

Тогда

, ,,

: ,

: ,

:

.

Итак, для функции получим смешанную задачу

, ,,

, ,

.

Уравнение задачи является неоднородным. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Рассмотрим соответствующее однородное уравнение . Его нетривиальные решения будем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, ,.

Тогда функция является решением уравнения

.

Из граничных условий ,получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку (призадача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравненияимеет вид

.

Из краевого условия получаем:, т.е..

Из краевого условия получаем:. Посколькуи, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения ,;

собственные функции ,.

Тогда решение смешанной задачи для неоднородного уравнения будем искать в виде

,

где функции ,, подберем так, чтобы удовлетворить неоднородному уравнению и начальному условию. Заметим, что функцияпри любом выборе функций,, точно удовлетворяет однородным граничным условиям,. Находим производные

, ,

и подставляем их в неоднородное уравнение :

,

.

Тогда функции ,, удовлетворяют уравнениям

,

, .

Начальные условия для этих уравнений получим, подставив в начальное условие, которое сначала представим на отрезкев виде ряда Фурье по системе функций:

,

где

.

Находим

,

,

,

при ,

при

.

Таким образом,

,

.

Если ,, то, если,, то.

Итак,

.

Тогда начальное условие дает

,

откуда получим начальные условия для :

, ,

Тогда для ,, получим задачи Коши

, ,

, ,,

, ,.

Решаем эти задачи:

, ,,

, .

Тогда

.

Возвращаясь к неизвестной функции по формуле, получим

.

4. Воспользуемся формулой полной вероятности. Событие

–лампа, наудачу извлечённая из первой коробки, будет стандартной.

Введем гипотезы:

–из второй коробки в первую переложена стандартная лампа;

–из второй коробки в первую переложена нестандартная лампа.

Поскольку всего во второй коробке 10 ламп, из которых 9 стандартных, то вероятности гипотез

, .

Найдем условные вероятности ,.

Если из второй коробки в первую переложили стандартную лампу (гипотеза ), то в первой коробке стало 21 радиолампа, из которых 19 стандартных, значит,

.

Если из второй коробки в первую переложили нестандартную лампу (гипотеза ), то в первой коробке стало 21 радиолампа, из которых 18 стандартных, значит,

.

Тогда по формуле полной вероятности

.