- •Экзаменационный билет № 01
- •Экзаменационный билет № 02
- •Экзаменационный билет № 03
- •Экзаменационный билет № 04
- •Экзаменационный билет № 05
- •Экзаменационный билет № 06
- •Экзаменационный билет № 07
- •Экзаменационный билет № 08
- •Экзаменационный билет № 09
- •Экзаменационный билет № 10
- •Экзаменационный билет № 11
- •Экзаменационный билет № 12
- •Экзаменационный билет № 13
- •Экзаменационный билет № 14
- •Экзаменационный билет № 15
- •Экзаменационный билет № 16
- •Экзаменационный билет № 17
- •Экзаменационный билет № 18
- •Экзаменационный билет № 19
- •Экзаменационный билет № 20
Экзаменационный билет № 19
1. Общие свойства гармонических функций. Теорема о среднем. Теорема о максимуме и минимуме гармонической функции. Теорема о единственности решения задачи Дирихле.
2. Формула Бернулли (с доказательством).
3. Найти решение задачи Коши для волнового уравнения
,
НУ: .
4. Производится два выстрела с вероятностями попадания в цель, равными ,. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.
1. Функция называется гармонической в области, если она в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е.
для всех точек области .
Рассмотрим основные свойства гармонических функций. Их вывод основан на формуле Грина
.
Свойства гармонических функций:
1. Если – гармоническая в областифункция,– граница области, то.
Доказательство. Во второй формуле Грина возьмем – гармоническая вфункция (т.е.), а(тогда,) и получим.
2. Формула среднего значения (теорема о среднем). Если – гармоническая в областифункция, то
,
где – сфера радиусас центром в точке.
3. Принцип максимального значения. Если функция непрерывна в замкнутой областии гармоническая внутри, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на поверхности.
Отсюда вытекают еще три свойства гармонической функции.
4. Если гармоническая в области функция и удовлетворяет на границе области условию, то она удовлетворяет этому условию и внутри области.
5. Если гармоническая в области функция и принимает на границе области постоянное значение, то она постоянна и во всей области. В частности, если, тов.
6. Если функции игармоничны в области, то выполнимость на границе области неравенствавлечет за собой выполнимость этого неравенства и внутри области.
Теорема о единственности решения задачи Дирихле. Решение внутренней задачи Дирихле
в ,
,
непрерывное в замкнутой области , единственно.
Доказательство. Пусть две функции иявляются решением этой задачи. Тогда их разностьудовлетворяет уравнению Лапласа в области, а на границепринимает значение, равное нулю. В силу свойства 5 гармонической функции имеем, чтовсюду в.
2. Схемой Бернулли (или последовательностью независимых испытаний) называют последовательность испытаний, удовлетворяющую условиям:
1) в каждом испытании возможны лишь два исхода – появление некоторого события (которое мы будем называть "успехом") или его не появление, т.е. осуществление события(в этом случае мы будем говорить, что испытание закончилось "неудачей");
2) испытания являются независимыми, т.е. исход -го испытания не зависит от исходов всех предыдущих испытаний;
3) вероятность успеха во всех испытаниях постоянна и равна .
Вероятность неудачи в каждом испытании обозначим через :.
При рассмотрении схемы Бернулли основной задачей является нахождение вероятности события, состоящего в том, что в испытаниях успех появится ровнораз,. Обозначим эту вероятность через.
Теорема. Вероятность того, что виспытаниях по схеме Бернулли произойдет ровноуспехов, определяется формулой Бернулли
, .
Доказательство. Обозначим событие "появление успеха" через У, а событие "появление неудачи" через Н. Тогда элементарными исходами последовательности из независимых испытаний будут всевозможные цепочки длины, состоящие из событий У и Н. Всего существуетразличных цепочек такого вида. Посчитаем вероятности элементарных исходов. В силу независимости испытаний события У, Н, Н, ..., У, У являются независимыми и согласно теореме умножения вероятность того, что виспытаниях успех появилсяраз, равна,. Поскольку всего существуетспособов расположить«успехов» средииспытаний, то.
3. Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой
, ,,
, .
представляется формулой Даламбера
.
У нас ,,. Тогда
.
Для построения решения нарисуем на фазовой плоскости линии характеристик,,,,,,,. Эти линии разбивают фазовую плоскость на 15 областей, в каждой из которых нужно найти решение.
Область I: ,. Тогда в I,ипри. Значит,
.
Область II: ,. Тогда вII ,ипри. Значит,
.
Область III: ,. Тогда вIII ,ипри. Значит,
.
Область IV: ,. Тогда вIV ,ипри,при. Значит,
.
Область V: ,. Тогда вV ,иприи,при. Значит,
.
Область VI: ,. Тогда вVI ,ипри. Значит,
.
Область VII: ,. Тогда вVII ,ипри. Значит,
.
Область VIII: ,. Тогда вVIII ,ипри,при. Значит,
.
Область IX: ,. Тогда в IX ,иприи,при. Значит,
.
Область X: ,. Тогда вX ,ипри. Значит,
.
Область XI: ,. Тогда вXI ,ипри,при. Значит,
.
Область XII: ,. Тогда вXII ,иприи,при. Значит,
.
Область XIII: ,. Тогда вXIII ,ипри. Значит,
.
Область XIV: ,. Тогда вXIV ,ипри,при. Значит,
.
Область XV: ,. Тогда вXV ,ипри. Значит,
.
4. Сначала составим ряд распределения случайной величины – общее число попаданий в цель при двух выстрелах. Случайная величинаможет принимать значения 0, 1, 2. Введем в рассмотрение события
–в цель попали первым выстрелом;
–в цель попали вторым выстрелом.
Тогда
, ,.
По условию
, .
Значит, вероятности промахов
, .
Находим ряд распределения (считая, что стрелки независимо друг от друга попадают в мишень или промахиваются)
,
,
.
Проверим условие нормировки:
.
Ряд распределения приведен в таблице:
|
0 |
1 |
2 |
|
0,42 |
0,46 |
0,12 |
Находим математическое ожидание:
.