- •Экзаменационный билет № 01
- •Экзаменационный билет № 02
- •Экзаменационный билет № 03
- •Экзаменационный билет № 04
- •Экзаменационный билет № 05
- •Экзаменационный билет № 06
- •Экзаменационный билет № 07
- •Экзаменационный билет № 08
- •Экзаменационный билет № 09
- •Экзаменационный билет № 10
- •Экзаменационный билет № 11
- •Экзаменационный билет № 12
- •Экзаменационный билет № 13
- •Экзаменационный билет № 14
- •Экзаменационный билет № 15
- •Экзаменационный билет № 16
- •Экзаменационный билет № 17
- •Экзаменационный билет № 18
- •Экзаменационный билет № 19
- •Экзаменационный билет № 20
Экзаменационный билет № 03
1. Смешанная задача для однородного волнового уравнения на полупрямой.
2. Теорема умножения вероятностей (с доказательством).
3. Найти решение смешанной задачи
, ,
ГУ: ; НУ:.
4. Случайная величина принимает только 2 значения: 1 и (–1), каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
1. Задача Коши для одномерного волнового уравнения на полупрямой имеет вид:
, ,,
начальные условия: ,
краевое условие: .
Рассмотрим сначала задачу на всей прямой и предположим, что функции ив начальных условиях нечетные, т.е.и. Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой дается формулой Даламбера
.
Найдем :
(интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку интегрирования).
Итак, если в задаче Коши на прямой начальные данные – нечетные функции, то в любой момент времени будет выполнено .
Тогда решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения на полупрямой записывается по формуле Даламбера
,
где ,продолженные нечётным образом на отрицательную часть осифункцииисоответственно, то есть
2. Обозначим условную вероятность – вероятность событияпри условии, что событиепроизошло.
Теорема. Для любых событий и,,
.
Доказательство. Пусть – числе всех равновозможных исходов испытания, в результате которого могут появиться событияи. Пусть– число тех исходов, которые благоприятствуют событию,– число тех исходов, которые благоприятствуют событию,– число тех исходов, которые благоприятствуют произведению событий. Тогда по формуле классической вероятности
.
Аналогично получаем
.
Из этих формул следует теорема умножения вероятностей:
.
События иназываются независимыми, если вероятность появления одного из них не меняется в зависимости от того, появилось другое событие или нет.
В этом случае:
.
Для трех событий ,итеорема умножения имеет вид
,
а для независимых событий
.
3. Уравнение задачи является неоднородным. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Рассмотрим соответствующее однородное уравнение . Его нетривиальные решения будем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, ,
: ,
, ,.
Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений
, .
Из граничных условий ,получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля
: ,
, .
Поскольку (призадача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравненияимеет вид
.
Из краевого условия получаем:, т.е..
Из краевого условия получаем:. Посколькуи, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения ,;
собственные функции ,.
Тогда решение смешанной задачи для неоднородного уравнения будем искать в виде
,
где функции ,, подберем так, чтобы удовлетворить неоднородному уравнению и начальному условию. Заметим, что функцияпри любом выборе функций,, точно удовлетворяет однородным граничным условиям,. Находим производные
, ,
и подставляем их в неоднородное уравнение :
,
.
Тогда функции ,, удовлетворяют уравнениям
,
, .
Начальные условия для этих уравнений получим, подставив в начальное условие:
,
откуда получим начальные условия для :
, ,
Тогда для ,, получим задачи Коши
, ,
, ,
, ,.
Решаем эти задачи:
, ,
, .
Тогда
.
4. Ряд распределения по условию имеет вид
|
–1 |
1 |
|
0,5 |
0,5 |
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины находятся соответственно по формулам
, .
Тогда
математическое ожидание:
,
дисперсия:
,
среднее квадратическое отклонение:
.