Экзаменационный билет № 04

1. Задача Коши для однородного волнового уравнения в трехмерном пространстве. Формула Кирхгофа

2. Функция распределения случайной величины, её свойства. Доказать, что неубывающая.

3. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге радиуса. ГУ:.

4. Баскетболист попадает в корзину с вероятностью . Он делает 5 бросков. Найти вероятность того, что успешными будут только первый и третий.

1. Задача Коши для однородного волнового уравнения в трехмерном пространстве имеет вид

, ,,,

начальные условия: ,.

Функции – начальные возмущения,– начальные скорости.

Используя операцию усреднения по сфере к уравнению и начальным условиям, получаем решение задачи Коши для трехмерного волнового уравнения в виде формулы Кирхгофа

,

где – сфера радиусас центром в точке.

2. Определение. Функцией распределения случайной величины называется определенная на всей числовой оси функция

.

Основные свойства функции распределения:

1) для всех ;

2) ,;

3) – неубывающая на, т.е. для любыхиз того, чтоследует, что.

Докажем последнее свойство. Пусть ,– произвольные действительные числа, причем. Тогда

,

откуда

,

то есть .

Кроме того, при доказательстве была получена формула

,

которая позволяет проводить расчет вероятностей для случайной величины, если известна её функция распределения.

3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круга радиуса ставится следующим образом:

при ,

,

где – оператор Лапласа в полярных координатах,(,). Граничное условие преобразуем в полярные координаты:

.

Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности

.

Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.

Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде

,

Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

,

откуда

,

.

Из условия периодичности следует, что

, .

Таким образом, для получаем задачу на собственные значения

,

.

Если , то

.

Применяем условие периодичности:

.

Отсюда, ,,.

Если , то

.

Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.

При ненулевых периодических решений нет.

Окончательно имеем

, .

Чтобы решить уравнение для при, сделаем замену. Получим

, ,

откуда

,

т.е.

, .

При получим.

Таким образом, функции

,

являются частными решениями уравнения . Составим функцию

,

которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.

Поскольку задача рассматривается в круге радиуса , то следует положить равными нулю коэффициенты при частных решениях, которые является неограниченными в области, т.е.

, ,.

Итак, в области имеем

.

Для нахождения ,,,, воспользуемся граничным условием:

.

Тогда

, ,

, ,.

Тогда в ряде для ненулевым являются только коэффициент

.

У нас , поэтому окончательно решение заданной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге имеет вид

.

4. Баскетболист попадает в корзину с вероятностью . Он делает 5 бросков. Найти вероятность того, что успешными будут только первый и третий.

4. Введем в рассмотрение события – баскетболист попал в корзину при-м броске,. По условию. Тогда вероятность промаха. Событие

–из пяти бросков баскетболиста только первый и третий будут удачными

можно записать так:

.

Считая, что баскетболист при каждом броске попадает или промахивается независимо от остальных бросков по теореме умножения получим

.