- •Экзаменационный билет № 01
- •Экзаменационный билет № 02
- •Экзаменационный билет № 03
- •Экзаменационный билет № 04
- •Экзаменационный билет № 05
- •Экзаменационный билет № 06
- •Экзаменационный билет № 07
- •Экзаменационный билет № 08
- •Экзаменационный билет № 09
- •Экзаменационный билет № 10
- •Экзаменационный билет № 11
- •Экзаменационный билет № 12
- •Экзаменационный билет № 13
- •Экзаменационный билет № 14
- •Экзаменационный билет № 15
- •Экзаменационный билет № 16
- •Экзаменационный билет № 17
- •Экзаменационный билет № 18
- •Экзаменационный билет № 19
- •Экзаменационный билет № 20
Экзаменационный билет № 15
1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце.
2. Закон больших чисел (теорема о связи и, где,, …,– попарно независимые величины, дисперсии которых ограничены одной и той жеconst) (с доказательством).
3. Решить смешанную задачу для волнового уравнения
, ,
ГУ: ;
НУ: .
4. Найти вероятность того, что при семи подбрасываниях двух игральных кубиков пять очков в сумме появятся ровно 3 раза.
1. Уравнением Лапласа называется уравнение вида
,
где – оператор Лапласа.
Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце ставится следующим образом:
при ,
, ,
где – оператор Лапласа в полярных координатах,(,),,– заданные функция.
Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности
.
Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.
Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде
,
Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
,
откуда
,
.
Из условия периодичности следует, что
, .
Таким образом, для получаем задачу на собственные значения
,
.
Если , то
.
Применяем условие периодичности:
.
Отсюда, ,,.
Если , то
.
Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.
При ненулевых периодических решений нет.
Окончательно имеем
, .
Чтобы решить уравнение для при, сделаем замену. Получим
, ,
откуда
,
т.е.
, .
При получим.
Таким образом, функции
,
являются частными решениями уравнения . Составим функцию
,
которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.
Для нахождения ,,,,,,, воспользуемся краевыми условием,. Разложим функции,в тригонометрический ряд Фурье в промежутке:
,
,
где
, ,,,
, ,,.
Тогда краевое условие дает равенство
,
откуда
, ,,.
Краевое условие дает равенство
,
откуда
, ,,.
Тогда
из системы ,находим
, ;
из систем ,,, находим
, ,;
из систем ,,, находим
, ,.
Окончательно решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кольце имеет вид
.
2. Пусть – последовательность случайных величин, для которых определены математические ожидания,. Кроме того, пусть для любого
.
Математические теоремы, формулирующие условия такой сходимости, носят название закона больших чисел (ЗБЧ).
Рассмотрим закон больших чисел в форме Чебышева.
Введем обозначения
, .
Теорема Чебышева. Пусть – последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные математические ожиданияи дисперсии, ограниченные в совокупности:при любом. Тогда для любого
.
Доказательство. Поскольку случайные величины независимы, то
,
Кроме того,
,
поскольку дисперсии ограничены в совокупности.
Применим к вероятности неравенство Чебышева и неравенство для:
.
Последнее при любом стремится к нулю при. Теорема доказана.
3. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, ,
: ,
, ,.
Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений
, .
Из граничных условий ,получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля
: ,
, .
Поскольку мы имеем дело со второй краевой задачей, то является собственным значением, а– соответствующей ему собственной функцией.
Пусть теперь (призадача имеет только тривиальные решения). Общее решение уравненияимеет вид
.
Тогда . Из краевого условияполучаем:,, т.е.и.
Из краевого условия получаем:. Посколькуи, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения ,,;
собственные функции ,,.
Теперь при каждом решаем уравнение для:
, .
При получим уравнение, откуда
.
При общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Для нахождения коэффициентов ,,, воспользуемся начальными условиями,.
Разложим функцию на отрезкев ряд Фурье по системе:
,
где
,
.
Находим
,
при
,
при
.
Итак,
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, ,,.
Находим :
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, .
Тогда решение задачи есть ряд
.
4. Мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли, где событие «успех» – выпадение при подбрасывании двух игральных кубиков в сумме пяти очков. Поскольку при подбрасывании двух игральных кубиков всего возможно исходов, а сумме 5 может появиться четырьмя способами:,,,, то вероятность «успеха» равна. Проведеноиспытаний. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что «успех» появится ровно 3 раза (т.е. при семи подбрасываниях двух игральных кубиков пять очков в сумме появятся ровно 3 раза), равна
.