- •Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной и неопределенный интеграл
- •§ 1Скорость
- •§ 2 Дифференцируемость и производная
- •Непрерывность дифференцируемой функции
- •§ 3 Понятие касательной. Касательная к графику дифференцируемой функции
- •1.Производная степной функции
- •Глава 2. Дифференциал
- •Глава 3. Основные свойства дифференцируемых функций и их применения
- •I. Рскрытие неопределенности вида
- •2.Раскрытие неопределенности вида
Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной и неопределенный интеграл
Модуль 1. Дифференциальное исчисление
Лекция 1.
Понятие производной возникло в результате многолетних усилий математиков при решении ряда задач, важнейшим из которых является задача о скорости неравномерного движения и задача о касательной к кривой. В XVII веке Ньютон и Лейбниц независимо друг от друга дали полное теоретическое решение этих задач. Это привело к созданию дифференциального и интегрального исчисления и явилось началом нового периода в истории математики – периода математики переменных величин. «Поворотным пунктом в математике, - писал Ф. Энгельс, - была декартова переменная величина. Благодаря этому, в математику вошли движение и тем самым диалектика и, благодаря этому же, стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление…»
§ 1Скорость
Пусть материальная точка движется по некоторой прямой, на которой выбрано начало О отсчета расстояний и положительное направление. Через S обозначим расстояние данной точки от O, а через t – время. Каждому значению t из некоторого промежутка (a, b) соответствует определенное значение S. Функция , выражающая эту зависимость, называется законом движения точки.
Выберем некоторый момент и для каждого обозначим , тогда . Моментам и соответствуют расстояния от O, равные и . Их разность обозначим .
Таким образом, за время точка переместилась по прямой на расстояние . Отношение (при условии )
называется средней скоростью движения точки на отрезке времени между моментами и и обозначается .
Для характеристики движения в момент вводится понятие мгновенной скорости. Мгновенная скорость движения называют предел средней скорости при и обозначают
Итак, для отыскания мгновенной скорости в момент требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю.
В качестве примера найдем скорость свободно падающего тела. Известно, что закон движения в этом случае имеет вид
, где – постоянная.
Здесь .
Поэтому .
Заметим, что каждому моменту соответствует определенная мгновенная скорость , и эта зависимость выражается функцией
.
§ 2 Дифференцируемость и производная
Рассмотрим два основных понятия дифференциального исчисления: понятие дифференцируемости функции и понятие производной функции в данной точке.
Пусть функция определена на некотором промежутке a, b. Зафиксируем значение внутри промежутка: . Обозначим через , где , приращение аргумента, а через , соответствующее приращение функции.
Определение 1. Функция называется дифференцируемой в данной точке , если приращение этой функции в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде
, (1)
где А от не зависит, а - функция от бесконечно малая в точке .
Так как произведение двух бесконечно малых и является бесконечно малой более высокого порядка, чем , то и.
Первое слагаемое в этой сумме является линейным относительно , а второе бесконечно малым более высокого порядка, чем . Например, функция является дифференцируемой в любой точке , так как
.
Рассмотрим теперь отношение приращения функции к определяющему его приращению аргумента (разностное отношение) в точке .
(2)
Это функция от , определенная в окрестности точки , поэтому можно изучать вопрос о существовании ее предела в точке .
Определение 2. Производной функции в точке называется предел разностного отношения (2) при .
Производную функции в точке будем обозначать или , то есть
(3)
Если производная функции существует в различных точках промежутка , то ее можно рассматривать как функцию переменной и для нее пользоваться обозначением или . Например, для функции в любой точке производная существует и равна
.
Введенные нами понятия дифференцируемости и производной функции в данной точке тесно связаны. Это видно из следующей теоремы.
Теорема. Для того чтобы функция была дифференцируемой в данной точке, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда ее приращение представимо в виде (1). Отсюда (при условии ) находим
.
Правая часть равенства имеет предел в точке равный А, поэтому существует производная в точке , и она равна А, т.е.
Достаточность. Пусть функция имеет производную в точке :
.
Обозначим
Как известно, эта разность между функцией и ее пределом есть бесконечно малая функция в точке . Отсюда
.
Следовательно, имеет место представление (1) и функция в точке дифференцируема.
Вернемся к понятию мгновенной скорости движения материальной точки. По определению
,
следовательно, мгновенная скорость в момент - это производная функции в точке . По аналогии с механикой производную любой функции трактуют как скорость изменения этой функции в зависимости от изменения аргумента . Такая трактовка находит широкое применение во многих приложениях математического анализа.