- •Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной и неопределенный интеграл
- •§ 1Скорость
- •§ 2 Дифференцируемость и производная
- •Непрерывность дифференцируемой функции
- •§ 3 Понятие касательной. Касательная к графику дифференцируемой функции
- •1.Производная степной функции
- •Глава 2. Дифференциал
- •Глава 3. Основные свойства дифференцируемых функций и их применения
- •I. Рскрытие неопределенности вида
- •2.Раскрытие неопределенности вида
Непрерывность дифференцируемой функции
Установим связь между свойствами непрерывности и дифференцируемости функции в данной точке .
Теорема. Если функция в данной точке дифференцируема, то она в этой точке непрерывна.
Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда ее приращение представимо в виде
.
Но тогда при будет , а это означает непрерывность функции в точке .
Итак, непрерывность в данной точке является необходимым условием для дифференцируемости. Однако достаточным условием она не является. Действительно, рассмотрим в качестве примера функцию в точке . Для нее
и предела в точке нет, а потому нет производной и нет дифференцируемости, но , что означает непрерывность.
Укажем еще один пример функции
которая в точке непрерывна (так как), но не дифференцируема (так как не имеет предела в точке ).
§ 3 Понятие касательной. Касательная к графику дифференцируемой функции
Из предыдущих разделов математики студентам известны различные плоские кривые (например, кривые второго порядка: окружности, эллипсы, гиперболы, параболы, а также графики различных непрерывных функций). Важным является понятие касательной прямой к таким кривым. Приведем описание этого понятия.
Пусть L одна из таких плоских кривых и А – точка на L. Если B – другая точка на L, то прямая P, проходящая через A и B, называется секущей для L. Пусть точка B движется по L, приближаясь к А сколь угодно близко. Тогда секущая будет вращаться вокруг точки А. Если при этом существует, проходящая через А, прямая Т такая, что угол между Р и Т будет сколь угодно мал (т.е. Р будет стремится к положению Т), то прямая Т называется касательной к L в точке А. Касательная существует не всегда. Так, у графика функции в точке касательной нет.
Действительно (см. рис.2), график состоит из двух полупрямых и , образующих угол с вершиной в начале координат. При секущая проходит вдоль , а при – вдоль , поэтому общего предельного положения секущих нет. График в точке имеет излом.
Пусть теперь L это график функции , заданной на промежутке и дифференцируемой в некоторой внутренней точке этого промежутка.
Пусть , где , соответствующая точка графика (см. рис.3). Если другая точка графика, то и и секущая Р, проходящая через А и В, наклонена к оси Ох под углом .
Проведем через А прямую Т, образующую с осью Ох угол равный . Угол между Р и Т равен . Когда В приближается к А сколь угодно близко, то и, благодаря этому с учетом непрерывности функции :
,
то есть . Следовательно, Т является касательной к графику в точке А. Угловым коэффициентом касательной Т является производная функции в точке .
Итак, график дифференцируемой функции в соответствующей точке имеет касательную, угловой коэффициент которой равен производной в данной точке. В этом заключается геометрический смысл производной.
Видно и обратное, если график функции в данной точке А имеет касательную, не перпендикулярную оси Ох, то в данной точке существует при предел (благодаря непрерывности ), функция в данной точке дифференцируема. Ясно, что в точках разрыва касательной быть не может. В точках же, где нет дифференцируемости, касательная к графику может быть, но перпендикулярная оси Ох (см. рис 4). Значение углового коэффициента касательной к графику функции позволяет составить уравнение этой касательной. Известно, что всякая прямая (не перпендикулярная оси Ох), проходящая через точку А(), имеет уравнение .
Так как для касательной , то уравнение касательной .
Прямая, проходящая через А() и перпендикулярная касательной, называется нормалью к графику функции . Так как ее угловой коэффициент , то уравнение нормали имеет вид .
Например, для кривой в точке имеет , поэтому уравнение касательной в точке А()
,
а уравнение нормали .
Дифференцирование суммы, произведение и частного
ТЕОРЕМА. Если функции и имеют производные в данной точке , то в этой точке имеют производные их сумма, разность, произведение и частного (последнее при условии ), причем имеют место формулы:
;
Доказательство. 1. Обозначим . Тогда .
Отсюда (при ) .
При правая часть этого равенства имеет предел, равный , поэтому и левая часть имеет тот же предел, то есть
.
2. Обозначим .
Тогда =.
Отсюда.
Функция благодаря дифференцируемости в точке непрерывна в этой точке и потому при . Следовательно, существует предел . При этом .
3. Обозначим . Заметим, что из условия и непрерывности в точке следует, что в некоторой окрестности .
Имеем .
Отсюда , поэтому существует предел этого выражения при
.
Теорема доказана.
Отметим два важных следствия.
Следствие 1. Если С – постоянная, а дифференцируема в данной точке, то в этой точке дифференцируема , причем , то есть постоянный множитель выносится за знак производной.
Действительно, , а производная постоянная функции равна нулю:
.
Следствие 2. Если дифференцируема в данной точке, то в этой точке дифференцируема любая натуральная степень , причем
.
Действительно, это справедливо для и . Общий случай доказывается методом математической индукции.
Пусть утверждение верно для . Тогда
.
Дифференцирование сложной функции
ТЕОРЕМА. Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда сложная функция (композиция) имеет производную в точке , причем справедлива формула
.
Доказательство. Приращению аргумента соответствует приращение функции . Приращению в свою очередь соответствует приращение функции . Так как дифференцируема в точке , то
,
где при.
Отсюда .
При благодаря непрерывности в точке имеем и . Поэтому имеет предел при , и этот предел равен:
.
Дифференцирование обратной функции
ТЕОРЕМА. Пусть у функции , отображающей промежуток в промежуток , имеется обратная функция . Пусть для соответствующая точка . Если имеет производную в точке , отличную от нуля , то обратная функция имеет производную в точке , причем
.
Доказательство. Придадим аргументу обратной функции в точке приращение . Этому приращению соответствует приращение также отличное от нуля, благодаря взаимно однозначному соответствию между и . Очевидно,
;
если , то, согласно непрерывности в точке , будет . По условию , поэтому существует предел , то есть обратная функция имеет производную, причем
.
Производные основных элементарных функций
Покажем, что все основные элементарные функции дифференцируемы в любой внутренней точке их областей определения и найдем их производные. При этом используем различные замечательные пределы.