- •Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной и неопределенный интеграл
- •§ 1Скорость
- •§ 2 Дифференцируемость и производная
- •Непрерывность дифференцируемой функции
- •§ 3 Понятие касательной. Касательная к графику дифференцируемой функции
- •1.Производная степной функции
- •Глава 2. Дифференциал
- •Глава 3. Основные свойства дифференцируемых функций и их применения
- •I. Рскрытие неопределенности вида
- •2.Раскрытие неопределенности вида
Глава 2. Дифференциал
Дифференциал и его связь с производной
Функция , определенная на промежутке , дифференцируема в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде , где от не зависит, а - бесконечно малая функция в точке . Таким образом, приращение функции представляется в виде суммы линейной относительно функции и функции , бесконечно малой более высокого порядка, чем :
при
Поэтому функцию называют главной линейной частью приращения .
Определение. Главная линейная часть приращения дифференцируемой функции в данной точке называется дифференциалом функции в данной точке.
Дифференциал функции обозначают:
Выше было показано, что дифференцируемость функции в точке равносильна существованию производной в этой точке и что . Следовательно, формула для дифференциала имеет вид
Если, в частности, взять функцию , то учитывая, что , получаем , то есть для аргумента дифференциал и приращение совпадают. Поэтому формула дифференциала принимает следующий вид
Это равенство дает возможность выразить производную через дифференциалы функции и аргумента
Пример. Для имеем .
Дифференциал функции в общем случае не равен приращению , но часто пользуются приближенным равенством
Абсолютная погрешность этого приближения равна , а относительная (при ):
Видно, что относительная погрешность может быть сколь угодно малой при достаточно малых .
Например, для функции приближенное равенство принимает вид
Поэтому.
Геометрический и механический смысл дифференциала
Рассмотрим график дифференцируемой функции (рис5.) А и В – точки графика, соответствующие значениям аргумента и , имеют ординаты и Приращение ординаты равно (по модулю) длине отрезка BD.
Если же рассмотреть касательную прямую к графику в точке A: , то на этой прямой точки А и С, соответствующие аргументам и , имеют ординаты и . Приращение ординат (равное по модулю длине отрезка СD) равно , а это дифференциал функции в точке .
Итак, дифференциал функции в точке - это приращение ординаты точки касательной прямой к графику в точке , соответствующее изменению абсциссы от до . В этом и состоит геометрический смысл дифференциала функции.
Пусть закон движения материальной точки по прямой. В некоторой момент скорость движения равна . Дифференциал функции в момент :
представляет собой путь, пройденный точкой за время с постоянной скоростью . Это составляет механический смысл дифференциала.
Дифференциал суммы, произведение и частного
Из известных формул для производных суммы, произведение и частного двух дифференцируемых функций ) и ) следуют соответствующие формулы для дифференциалов.
);
;
Таким образом , ;
;
В случае частного предполагается . Так как , где С – постоянная, то имеет место правило : , т.е. постоянный множитель выносится за знак дифференциала.
Дифференциал сложной функции
Пусть функция в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке . Тогда сложная функция , как было показано, имеет производную в точке , а потому дифференцируема.
При этом для дифференциала сложной функции имеем формулу
Инвариантная форма дифференциала
Дифференциал функции , как было показано выше, вычисляется по формуле .
Здесь - произвольное приращение аргумента (независимой переменной).
Если же имеется сложная функция , где , то дифференциал равен .
Но - дифференциал промежуточного аргумента и поэтому окончательная форма записи дифференциала
та же, что и относительно независимой переменной .
Итак, дифференциал имеет неизменную (инвариантную) форму относительно аргумента. Следует однако отметить, что в общем случае .
Из инвариантности формы дифференциала следует, что при любом выборе аргумента производная равна отношению дифференциалов: . Поэтому правило дифференцирования сложных функций записывается следующим образом
а правило дифференцирования обратных функций
Дифференциалы высших порядков
Дифференциал функции зависит как от аргумента , так и от его дифференциала (от последнего линейно). Если зафиксировать , то дифференциал становится функцией лишь .
Второй дифференциал (дифференциал второго порядка) функции определятся как дифференциал от дифференциала и обозначается , при условии, что фиксировано.
Дифференциалы любых порядков определяются по индукции. Дифференциал порядка n(n-1) определяется как дифференциал от дифференциала порядка “n-1” .
при условии, что фиксировано.
Найдем формулу для дифференциала любого порядка в случае, когда - независимая переменная
,
.
Методом математической индукции выводится, что
Из последней формулы можно производную порядка n выразить через дифференциалы:
(в числителе дифференциал порядка n функции, а в знаменателе n - ая степень дифференциала аргумента).
Пусть теперь , а . Запишем второй дифференциал через промежуточный аргумент .
По правилу дифференцирования сложной функции имеем
Еще более сложная формула для третьего дифференциала
Видно, что дифференциалы второго и выше порядков инвариантностью формы не обладают.