Лекция №8. Численное дифференцирование

Лекция № 7

Численное дифференцирование

Постановка задачи

При решении практических задач очень часто приходится вычислять производные функции y = f(x) различных порядков. Если функция задана аналитически и ее аналитическое выражение не слишком сложно, то задача решается обычными методами математического анализа.

К численному дифференцированию приходится обращаться тогда, когда функция задана таблицей или когда зависимость у от х имеет весьма сложное аналитическое выражение.

В первом случае методы математического анализа просто неприменимы, а во втором – вычисление производных связано со значительными трудностями. В этих случаях обычно производится замена данной функции, чаще всего интерполяционным многочленом, пользуясь тождеством:

f(x) = P_n(x) + R_n(x), (1)

где P_n(x) – интерполяционный многочлен,

R_n(x) – остаточный член интерполяционной формулы.

Предполагая, что f(x) имеет производные до порядка k включительно, дифференцируют тождество (1) и находят производные

(2)

В качестве приближенных значений этих производных берут первые слагаемые в правой части равенств:

(3)

Остаточные члены выражают погрешность этих приближенных равенств.

При замене функции f(x) интерполяционным многочленом Р_п(х) предполагается, что остаточный член R_п(х) достаточно мал, но из этого совсем не следует, что будут достаточно малыми.

Погрешности, получаемые при вычислении производных (особенно высших порядков), могут оказаться очень большими.

Обозначим через r_k(x) (k=1, 2,…, n) остаточный член формул численного дифференцирования, т.е.

(4)

Пользуясь выражением для остаточного члена интерполяционной формулы, можно получить

В частности, при x=x_i получим:

формулы численного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона

Пусть функция f(x) на отрезке [a, b] задана таблицей значениями в п+1 равноотстоящей точке

хi	х0	х1	х2	…	хn
yi	у0	у1	у2	…	уn

где x_i = x₀ + ih (i=0, 1, …n),

требуется вычислить значение производной для значения х, близкого к х₀. Функцию f(x) заменим приближенно первым интерполяционным многочленом Ньютона, т.е.

(5)

где .

Раскрыв скобки в числителе, формулу (5) можно записать в виде:

(6)

Заметим, что производная

Дифференцируя равенство (6) дважды, получим:

(7)

и

(8)

Таким же образом можно вычислить и производные любого порядка.

Для того чтобы получить значение производных в точке х, лежащей в конце таблицы, следует воспользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона. Применяя тот же прием, получим:

(9)

(10)

Формулы приближенного дифференцирования значительно упрощаются, если значения производных вычисляются в узлах интерполирования. Положив t=0 (x=x₀), получим:

(11)

(12)