Лекция №7. Экстраполирование и обратное интерполирование

Лекция № 7

Экстраполирование и обратное интерполирование

Пусть функция у = f(x) задана значениями в n+1 равноотстоящем узле х_i = х₀ + ih значениями у_i =f(х_i) (i = 0, 1, …, n).

хi	х0	х1	х2	…	хn
yi	у0	у1	у2	…	уn

Экстраполированием называется вычисление значений функции для значений аргумента, выходящих за пределы того интервала, для которого дана таблица, т.е. для значений х<х₀ и х>х_n.

При отыскании значений функции для х<х₀ используется первый интерполяционный многочлен Ньютона. В этом случае t = < 0 и говорят, что первая интерполяционная формула Ньютона применяется для экстраполирования назад.

При отыскании значений функции для х>х_n используется второй интерполяционный многочлен Ньютона.

В этом случае t = > 0 и говорят, что вторая интерполяционная формула Ньютона применяется для экстраполирования вперед.

Замечание. При экстраполировании получаются бóльшие погрешности, чем при интерполировании. Поэтому пределы его применения ограничены.

Пример. Функция y = sinx задана таблицей. Найдем значения синуса для углов х = 0,2 и х = 1

хi	уi	уi	^2уi	^3уi	^4уi
0,3	0,2955
		0,0939 ( у0)
0,4	0,3894		-0,0039 (^2 у0)
		0,0900 (у1)		-0,0009 (^3 у0)
0,5	0,4794		-0,0048 (^2 у1)		0,0001 (^4 у0)
		0,0852 (у2)		-0,0008 (^3 у1)
0,6	0,5646		-0,0056 (^2 у2)		-0,0001 (^4 у1)
		0,0796 (у3)		-0,0009 (^3 у2)
0,7	0,6442		-0,0066 (^2 у3)
		0,0732 (у4)
0,8	0,7174

х = 0,2.

В качестве выберем х₀ = 0,3  t = = = -1.

Запишем первый интерполяционный многочлен третьего порядка:

у = у₀ +tу₀ + ² у₀ + ³ у₀ ,

Подставив численные значения, получим:

у = 0,2955 – 0,0939 + (-0,0039) + (-0,009)  у = 0,1986.

Можно принять sin 0,2 = 0,1986 (точное решение 0,198669).

х = 1,0.

В качестве х_n выберем х_n = 0,8  t = = = -2.

Запишем второй интерполяционный многочлен третьего порядка:

у = у_n +tу_{n - 1} + ² у_n - ₂ + ³ у_{n - 3} 

у = 0,7174 + 2*0,0732 + (-0,0066) + (-0,0009)  у = 0,8404 (точное решение 0,8414).

Обратное интерполирование

Пусть функция у = f(x) задана таблицей:

хi	х0	х1	х2	…	хn
yi	у0	у1	у2	…	уn

Если функция f(x) является строго монотонной (возрастающей или убывающей), то для нее существует обратная (возрастающая или убывающая) монотонная функция х = (у).

Обратное интерполирование состоит в нахождении по промежуточному, не содержащемуся в таблице, значению функции соответствующего значения аргумента.

При обратном интерполировании находятся значения обратной функции х = (у).

Так как табличные разности у данной функции не сохраняют постоянного значения (за исключением случая линейной зависимости), то для интерполирования обратной функции х = (у) удобно применять интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяционная формула в этом случае будет иметь вид:

(1)

Очевидно, абсолютная погрешность обратного интерполирования может быть оценена по формуле остаточного члена интерполирования:

(2)

где - значение производной (п+1) порядка для обратной функции. Абсолютная погрешность интерполирования

где .

Пример. Функция задана таблицей. По заданному значению функции у=1,38 требуется найти соответствующее значение аргумента х.

хi	2,0	2,5	3,0
yi	1,260	1,35	1,442

Поменяв местами х и у, получим таблицу для обратной функции

хi	1,260	1,35	1,442
yi	2,0	2,5	3,0

Составим многочлен Лагранжа второго порядка:

L₂(x) = у₀ + у₁ + у₂

Подставив в выражение многочлена значение х_i и y_i из таблицы, получим, что L₂(1,38) = 2,626. Итак, φ(1,38)≈2,626.

3