22. Аналитическое выравнивание динамических рядов. Виды кривых роста (моделей тренда).

Аналитическое представление (сглаживание) динамического ряда дает возможность, во-первых использовать для анализа динамики методы дифференциального исчисления (max, min, точки перегиба и т.д.) и во-вторых осуществлять прогнозирование путем экстраполяции ряда.

t = T + l – получать точечные и интервальные оценки, их вероятностные характеристики. При аналитическом выравнивании решается задача: выбор формы модели ряда, оценка параметров а₀, а₁ … на основе эмпирических данных, оценка адекватности модели и точности.

Цели аналитического выравнивания:1)определение вида функционального уравнения. 2)нахождение параметров уравнения. 3)расчет выровненных уровней отображающих тенденцию ряда динамики. Основная цель - определение зависимости.

Наиболее распространенные модели трендов:

1. Линейный тренд

Линейный тренд хорошо отображает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям. (тенденция динамики урожайности для масштаба области и т.д.)

2. Полином второй степени (параболическая форма тренда):

Выражает ускоренное или замедленное изменение уровней ряда с постоянным ускорением.

3. Полином третьей степени

4. Гиперболическая

5. Экспоненциальная

6. Логистическая кривая

Где a и b –параметры тренда

e – основание натуральных логарифмов

Цели аналитического выравнивания:1)определение вида функционального уравнения. 2)нахождение параметров уравнения. 3)расчет выровненных уровней отображающих тенденцию ряда динамики.

Динамический ряд представляется в виде:

• модель тренда

23. Метод наименьших квадратов для оценки параметров трендовой модели

Для оценки параметра выбранной модели используют различные методы наиболее часто применяют так называемый метод наименьших квадратов (МНК). Согласно этому методу параметры оцениваются из условия, что сумма квадратов отклонений расчетных значений по модели тренда от эмпирических (фактических) данных минимальный. Во многих случаях применение МНК приводит к системе линейно относительно оцениваемых параметров (а₀, а₁ …) уравнений (они получается путем взятия частных производных приравнивание их к 0).

После того как вычислены параметры (а₀, а₁ …) определяют расчетные значения по модели тренда и отклонения от эмпирических данных:

Случайная компонента E (t) представляет собой также динамический ряд, который называют рядом остатков.

24. Анализ трендовых моделей на адекватность и точность.

исследование случайной компоненты позволяет сделать вывод об адекватности модели.

Модель считается адекватной если:

1. Математическое ожидание случайной компоненты равно 0.

2. Остаточная компонента обладает свойством случайности, испытывается гипотеза о случайности остатков с использованием метода «поворотных точек» (метод пиков)

3. Отсутствия автокорреляции в ряду остатков или независимость остатков. Используется критерий Дарбина- Уотсона .

4. Нормальность распределения в ряду остатков. Используется R / S – критерий («размах – стандарт»).

Точность модели оценивается по среднеквадратическому отклонению расчетных значений от эмпирических данных и по средней относительной ошибки аппроксимации

Если Е_отн  5% , то точность считается хорошей, точность можно считать удовлетворительной (использовать модель для прогнозирования) если Е_отн < 15%

Линейный тренд

Система уравнений МНК:

Даже для линейного тренда рекомендуется предварительно центрировать динамический ряд, т.е. перенести начало координат в середину. Тогда t (а также суммы всех нечетных степеней) будет равна 0 и система приобретает вид:

И параметры системы вычисляются по следующим формулам:

Если число уровней четное, то предварительно осуществляют центрирование ряда.