2.1.4. Уравнения модели с геометрически распределённым лагом (метод Койка)

Предположим, что величина лага не ограничена. Тогда модель с распределённым лагом примет вид

y_t = c + b₀x_t + b₁x_t-1 + b₂x_{t-2 + …} + e_t. (2.8)

Понятно, что параметры такой модели обычным методом наименьших квадратов определить нельзя, поскольку модель включает бесконечное их число. Один из методов решения задачи оценки параметров такой модели предложил Койк (Koyck L.M.). Он предложил считать, что структура лага имеет геометрическую форму, т.е. воздействие лаговых значений независимой переменной на результат уменьшается с увеличением величины лага в геометрической прогрессии. Итак, предположим, что существует некоторый постоянный темп λ (0 < λ < 1) уменьшения во времени лаговых воздействий факторной переменной на результат. В общем виде такую зависимость можно записать как

b_j = b₀ λ^j, j = 0,1,2,…, 0 < λ < 1. (2.9)

Выразим с помощью (2.9) коэффициенты b_j в модели (2.8) через b₀ и λ:

y_t = c + b₀ x_t + b₀ λ x_t-1 + b₀ λ² x_{t-2 + …} + e_t. (2.10)

Тогда для периода t–1 (2.10) можно записать следующим образом:

y_t-1 = c + b₀ x_t-1 + b₀ λ x_t-2 + b₀ λ² x_{t-3 + …} + e_t-1. (2.11)

Умножим обе части (2.11) на λ и вычтем результат из (2.10), получим

y_t – λ y_t-1 = с – λ с + b₀ x_t + e_t – λ e_t-1

или

y_t = с (1 – λ) + b₀ x_t + λ y_t-1 + u_t,

где

u_t = e_t – λ e_t-1.

Получили модель авторегрессии первого порядка. Оценив параметры этой модели, получим оценки λ, b₀ и с, после чего по формуле (2.9) получим оценки модели (2.8). Их количество определяется точностью оценок.

Отметим, что оценки модели авторегрессии первого порядка рекомендуется проводить методом инструментальных переменных ввиду наличия в ней в правой части лаговой зависимой переменной. Описанный алгоритм получил название преобразования Койка. Несмотря на бесконечное число слагаемых в правой части модели (2.8), геометрическая структура лага позволяет определить величины среднего и медианного лагов в модели Койка. Средний лаг определяется из соотношения λ/(1– λ), а медианный равен λ_me = (ln0,5)/ln λ.

2.2. Динамические модели с нестационарными переменными

2.2.1. Ложная регрессия

Предположение стационарности временных рядов является решающим для применения стандартных процедур оценивания и проверки гипотез. При этом используется тот факт, что выборочные дисперсии и ковариации конечны для любого объёма выборки. Но если ряды нестационарны, то они не вариируют вокруг постоянного среднего значения, а следовательно, дисперсии и ковариации для генеральной совокупности не определены.

Если моделируемые временные ряды нестационарны, то велика вероятность получить ложную регрессию, особенно, если эти ряды имеют тренды. Если взять два независимых временных ряда, которые имеют тренды, то уравнение регрессии для них просто отразит тот факт, что они изменяются в одном или противоположном направлении. Такая регрессия будет иметь хорошие показатели точности, но будет отражать лишь факт ложной связанности благодаря тому, что оба ряда имеют тренд. При этом ситуации будут совершенно разными, имеют ли ряды детерминированные или стохастические тренды.

Рассмотрим оба варианта. Сначала рассмотрим вариант с детерминированными трендами.

Смоделируем два временных ряда с детерминированными трендами и независимыми друг от друга остатками в виде белого шума (левая часть рисунка 2.2). Оценим уравнение регрессии y_t на x_t (правая часть этого рисунка). Как видим, уравнение регрессии вполне корректное: высокое значение коэффициента детерминации (0,98), значимое отличие от нуля оценок параметров уравнения, статистика Дарбина – Уотсона близка к двум. Кроме того, анализ остатков этой регрессии показал (рисунок 2.3), что они стационарны (автокорреляции нет и гипотеза о единичном корне отклоняется). Это всё из-за того, что оба ряда имеют детерминированные тренды и только.

Рисунок 2.26.6 – Пример ложной регрессии (детерминированные тренды)

Рисунок 2.3 Анализ остатков ложной регрессии

Чтобы убедиться в том, что эта регрессия действительно ложная, проделаем следующее: сначала введём в уравнение регрессии фактор времени в виде тренда, а потом проверим, объясняет ли изменение х изменение у, т.е. вместо уравнения y_t = a +bx_t + e_t (что на правой части рисунка 2.2) оценим уравнение y_t = a +bx_t +ct+ e_t (левая часть рисунка 2.4) и затем Δy_t = a +bΔx_t + e_t (правая часть этого рисунка).

Рисунок 2.4 – Преобразованные уравнения для случая ложной регрессии

Как видим, точность уравнения с включением тренда по сравнению с исходным уравнением повысилась (R-squared = 0,99), остатки не автокоррелированы (DW = 1,89) (левая часть рисунка 2.4). Однако в уравнении регрессии с трендом оценка коэффициента при x_t оказалась незначимой (Prob. = 0,38), зато при тренде – высокозначимой (Prob. = 0,00), т.е. в нашем случае y_t зависит только от t и не зависит от x_t. Это подтверждает ложность исходной регрессии. Кроме того, попытка объяснить зависимость изменения y_t, т.е. Δy_t от изменения x_t, т.е. от Δx_t, показала, что изменение x_t не объясняет изменение y_t (оценка коэффициента b в уравнении регрессии Δy_t = a +bΔx_t + e_t (правая часть рисунка 2.4) незначимо отличается от нуля (Prob. = 0,87)). Т.е. в этом случае также подтвердилась ложность исходной регрессии.

Рассмотрим теперь вариант стохастических трендов. Смоделируем два независимых процесса случайного блуждания и построим уравнение регрессии одного ряда на другой (рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 – Пример ложной регрессии (стохастические тренды)

Как и в предыдущем случае, уравнение зависимости y от x оказалось значимым (рисунок 2.5): F-статистика = 38, prob(F-statistic) = 0,00, оценки коэффициентов высокозначимы, R² кажется приемлемым, а вот статистика Дарбина – Уотсона чрезвычайно низка, что говорит о высокой автокоррелированности остатков.

Протестируем остатки этой регрессии на стационарность с помощью теста Дики – Фуллера. На рисунке 2.6 (левая часть) приведены графики фактических, расчётных значений зависимой переменной и остатков уравнения регрессии (в центре левого рисунка) и тест на единичный корень (правая часть рисунка).

Рисунок 2.6 – Проверка остатков на единичный корень

Как видно из рисунка, остатки визуально представляют собой тот же процесс случайного блуждания, что и исходные ряды. Тест на единичный корень подтверждает этот вывод (Prob. = 0,08), т.е. гипотеза о единичном корне не отклоняется, следовательно, остатки являются нестационарным рядом. Это и подтверждает утверждение о том, что наша регрессия ложная.

Если оценить уравнение регрессии изменения одной из этих переменных на изменение другой, то получим тот же результат, что и в предыдущем случае (см. рисунок 2.7).

Рисунок 2.7 – Регрессия зависимости изменения у от изменения х

Как видим, изменение х не объясняет изменение у. Уравнение регрессии в целом незначимо и соответственно ничего не описывает.

Подведём итог. Если при детерминированных трендах в ложной регрессии остатки могут быть стационарными и проверка на ложную регрессию требует либо вводить в регрессию фактор времени, либо проверять, объясняют ли изменения одной переменной изменения другой, то при стохастических трендах в ложной регрессии остатки не являются стационарными и после установления этого факта дополнительной проверки не требуется.