Практическая работа № 16

Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению темы, формировать навыки прикладного использования аппарата производной.

Теоритическое обоснование:

Схема исследования функции и построение ее графика

I. Найти область определения функции.  II. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.  III. Найти асимптоты.  IV. Найти точки возможного экстремума.  V. Найти критические точки.  VI. С помощью вспомогательного рисунка исследовать знак первой производных. Определить участки возрастания и убывания функции, точки экстремумов. VII. Построить график, учитывая исследование, проведенное в п.1-6.

 Построить график функции с помощью производной первого порядка 

Решение.         1) Областью определения функции является вся числовая ось. То есть     .          2) Функция ни четная, ни нечетная, так каки.         3) Найдём производную функции

.         4) Найдём критические точки, в которых производная обращается в ноль     .         Это точки. Отметим эти точки на числовой оси и определим знак производной на интервалах.

        Таким образом:     - точка минимума;- точка максимума;- точка минимума.

.         5) Строим график на основании проделанного исследования.

.

Текст задания:

Исследовать функцию и построить ее график.

Вариант 1

.

Вариант 2

.

Вариант 3

.

Вариант 4

.

Вариант 5

.

Вариант 6

.

Вариант 7

.

Вариант 8

.

Практическая работа № 17

Тема: Первообразная и определенный интеграл

Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению темы

Теоритическое обоснование:

Первообразная. Неопределенный интеграл:

   Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f '(x) или дифференциала f '(x)dx данной функции f(x)

   Определение 1: Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство F'(x)= f(x) или dF(x)= f(x)dx

 Определение 2: Множество F(x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x) , где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом

Таким образом, по определению,

где F'(x) = f (x) или dF(x) = f(x)dx и С - произвольная постоянная. В последней формуле f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx - подынтегральным выражением, а символ - знаком неопределенного интеграла.

Таблица интегралов

Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла   

 Определение. Приращение первообразных функций F(x)+C при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b, равное разности F(b)-F(a), называется определенным интегралом и обозначается символом

   так, что если

,   то

данное равенство называется формулой Ньютона - Лейбница.

Пример 1

При помощи определенного интеграла найти площадь криволинейной трапеции.

y = x² – 2, y = 2x + 1 Выполним чертеж: На отрезке   , по соответствующей формуле:

Ответ: 

Текст задания:

Вариант 1

1. Вычислить определенный интеграл: .

2. Вычислить определенный интеграл методом подстановки: .

3. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: .

4. Скорость движения точки изменяется по закону (м/с). Найти путьS, пройденный точкой за 10 с от начала движения.

Вариант 2

1. Вычислить определенный интеграл: .

2. Вычислить определенный интеграл методом подстановки: .

3. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: .

4. Скорость движения точки изменяется по закону (м/с). Найти путьS, пройденный точкой за четвертую секунду.

ГЕОМЕТРИЯ

уметь:

- Распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;

- Описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;

- Анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

- Изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиями задач;

- Строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;

- Решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

- Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

- Проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

- Исследования (моделирования) несложных практических ситуации на основе изученных форум и свойств фигур;

- Вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.