- •Министерство образования, науки и молодежной политики Забайкальского края
- •Введение
- •Практическая работа № 1
- •Практическая работа № 2
- •Приближенные вычисления с помощью правил подсчета цифр
- •Приближенные вычисления по способу границ
- •Практическая работа № 3
- •1. Понятие мнимой единицы
- •2. Степени мнимой единицы
- •3. Определение комплексного числа
- •4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
- •Практическая работа № 4
- •Степени и корни
- •Решение иррациональных уравнений
- •1. Выполните действия:
- •2. Решить уравнения:
- •3. Выполните действия:
- •Практическая работа № 5
- •Свойства показательной функции
- •Практическая работа № 6
- •Показательные уравнения
- •Примеры решения показательных уравнений и неравенств
- •Практическая работа № 7
- •2. Определите множество значений функции:
- •Практическая работа № 8
- •Логарифмическое уравнение
- •Логарифмическое неравенство
- •Практическая работа № 9
- •Практическая работа № 10
- •Основные формулы тригонометрии: Синус и косинус сложения аргументов
- •Формулы двойного аргумента (двойного угла)
- •Тангенс сложения аргументов
- •Формулы приведения для тригонометрических функций
- •Практическая работа № 11
- •Практическая работа № 12
- •Решение простейших тригонометрических уравнений
- •Практическая работа № 13
- •1. Уравнения, сводящиеся к квадратам
- •3. Уравнения, решаемые разложением левой части на множители
- •Решение тригонометрических неравенств
- •Практическая работа № 14
- •Практическая работа № 15
- •1. Формулы дифференцирования
- •2. Основные правила дифференцирования
- •Практическая работа № 16
- •Практическая работа № 17
- •Первообразная. Неопределенный интеграл:
- •Практическая работа № 18
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Практическая работа № 19
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Практическая работа № 20
- •Практическая работа № 21
- •Практическая работа № 22
- •Практическая работа № 23
- •Практическая работа № 24
- •Практическая работа № 25
- •Практическая работа № 26
- •Практическая работа № 27
- •Практическая работа № 28
- •Элементы комбинаторики
- •Практическая работа № 29
- •Классическое определение вероятности
- •Практическая работа № 30
- •Вариационный ряд и его характеристики
- •Литература
- •Содержание
- •Бронников Анатолий Павлович математика
Практическая работа № 5
Тема: Показательная функция и её свойства
Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению свойств показательной функции.
Теоритическое обоснование:
Свойства показательной функции
Определение. Функция, заданная формулой у=ах (где а>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием а. Сформулируем основные свойства показательной функции (их доказательство выходит за рамки школьного курса). 1. Область определения — множество R действительных чисел. 2. Область значений — множество R+ всех положительных действительных чисел. 3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает на множестве R.
Графики показательных функций для случаев а>\ и 0<1<1 изображены на рисунках 1-2.
Текст задания
А1 |
Укажите наименьшее целое значение функции |
1) 2) 3) 4) |
А2 |
Определите множество значений функции: |
1) 2) 3) 4) |
А3 |
Укажите наибольшее целое значение функции |
1) 2) 3) 4) |
А4 |
Определите множество значений функции: |
1) 2) 3) 4) |
А5 |
Укажите наименьшее целое значение функции |
1) 2) 3) 4) |
А6 |
Определите множество значений функции: |
1) 2) 3) 4) |
А7 |
Укажите наибольшее целое значение функции |
1) 2) 3) 4) |
А8 |
Определите множество значений функции: |
1) 2) 3) 4) |
Практическая работа № 6
Тема: Решение показательных уравнений и неравенств
Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению темы посредством решения показательных уравнений и неравенств.
Теоритическое обоснование:
Показательные уравнения
Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением.
Самое простое показательное уравнение имеет вид
ax = b, где a > 0, a ≠ 1. |
|
Примеры решения показательных уравнений и неравенств
Решить уравнение:
1000x=100
Представим левую и правую часть уравнения в виде степени, имеющую одинаковые основания:
103x=102
Теперь, когда основания одинаковые, нужно приравнять показатели степеней.
3x=2 x=2/3
Ответ: x=2/3 .
Главное в показательных уравнениях - свести левую и правую часть уравнения к общему основанию:
(2/5)x=(5/2)4
Представим (2/5)x как (5/2)-x:
(5/2)-x=(5/2)4
Основания одинаковые, следовательно, приравниваем показатели:
-x=4 x=-4
Ответ: x=-4
√3х=9
√3х распишем как 3x/2, а 9 - как 32:
3х/2=32
Приравниваем показатели:
х/2=2 х=4
Ответ: x=4
3х2-х-2=81
Заметим, что 81=34
3х2-х-2=34
Приравниваем показатели:
х2-х-2=4
х2-х-6=0
Получили квадратное уравнение:
D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня
х1=(1+5)/2=3
х2=(1-5)/2=-2
Ответ: х=3 и х=-2
4х+1+4х=320
В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4х за скобки:
4х(4+1)=320
4х*5=320
Представим 320 в виде 5*43, тогда:
4х*5=5*43
Поделим левую и правую часть уравнения на 5:
4х=43
Приравняем показатели:
х=3
Ответ: х=3
7х+2+4*7х-1=347
Степенью с наименьшим показателем в этом уравнении является х-1, следовательно, за скобки выносим 7x-1. Получаем:
7х-1*(73+4)=347
7х-1*347=347
Поделим левую и правую часть уравнения на 347:
7х-1=1
Заметим, что любое число в нулевой степени равно 1. Следовательно, распишем 1 как 70:
7х-1=70
Приравняв показатели, получим:
х-1=0
х=1
Ответ: х=1
4х-5*2х+4=0
Представим 4х как 22х, получим:
22х-5*2х+4=0
Введем подстановку: 2х обозначим переменной t. Cледовательно: 22х=t2. Получим:
t2-5t+4=0
Найдем корни уравнения по теореме Виета:
t1=1
t2=4
Заменим t на 2х:
2х=1
Заметим, что 20=1
2х=20
Приравняем показатели:
х=0
2х=4
Заметим, что 4=22
2х=22
Приравняем показатели:
х=2
Уравнение имеет два действительных корня 0 и 2.
Ответ: х=0 и х=2
Решить неравенство:
1) 45-2x<0,25.
Представим правую часть в виде: 0,25=(25/100)=(1/4)=4-1;
45-2x<4-1; функция у=4хс основанием 4>1возрастает на R, поэтому, опуская основания степеней, знак неравенства сохраним:
5-2x<-1; — 2x<-1-5; — 2x<-6 |:(-2) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняют на противоположный: x>3.
Ответ: (3; +∞).
2) 0,42х+1≥0,16.
Представим число 0,16 в виде степени числа 0,4. Получаем: 0,42х+1≥0,42; основание степеней – число0,4— удовлетворяет условию:0<0,4<1; поэтому, опускаем основания степеней, а знак неравенства меняем на противоположный:
2х+1≤2; 2х≤2-1; 2х≤1 |:2 x≤0,5.
Ответ: (-∞; 0,5].
3) 23-x+21-x>40.Применим формулу:ax+y=ax∙ay. Запишем неравенство в виде:
23∙2-x+21∙2-x>40; Вынесем общий множитель за скобки:
2-x∙(23+21)>40; упрощаем левую часть:
2-x∙(8+2)>40;
2-x∙10>40 |:10
2-x>4;
2-x>22; основание степени — число 2>1, значит, знак неравенства сохраняем:
— x>2 |:(-1) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число — знак неравенства меняют на противоположный: x<-2.
Ответ: (-∞; -2).
Текст задания
Показательные уравнения и неравенства Вариант 1 | ||
А) Выберите номер правильного ответа | ||
А1 |
Найдите сумму корней уравнения : |
1) 2) 3) 4) |
А2 |
Если - корень уравнения, то значение выраженияравно |
1) 2) 3) 4) |
А3 |
Найдите произведение корней уравнения |
1)-2) 3) 4) |
А4 |
Найдите наименьшее целое решение неравенства |
1) 2) 3) 4) |
А5 |
Найдите наибольшее целое решение неравенства |
1) 2) 3) 4) |
В) Напишите правильный ответ | ||
В1 |
Решите уравнение | |
В2 |
Решите неравенство: | |
В3 |
Если и- решение системы уравненийто значение выраженияравно
| |
С) Приведите подробное решение данного задания. | ||
С |
При каких значениях параметра уравнениеимеет ровно один корень |
Показательные уравнения и неравенства Вариант 2 | |||
А) Выберите номер правильного ответа | |||
А1 |
Найдите сумму корней уравнения : |
1) 2) 3) 4) | |
А2 |
Если - корень уравнения, то значение выраженияравно |
1) 2) 3) 4) | |
А3 |
Найдите произведение корней уравнения |
1)-2) 3) 4) | |
А4 |
Найдите наибольшее целое решение неравенства |
1) 2) 3) 4) | |
А5 |
Найдите наименьшее целое решение неравенства |
1) 2) 3) 4) | |
В) Напишите правильный ответ | |||
В1 |
Решите уравнение | ||
В2 |
Решите неравенство: | ||
В3 |
Если и- решение системы уравненийто значение выраженияравно | ||
С) Приведите подробное решение данного задания. | |||
С |
При каких значениях параметра уравнениеимеет ровно один корень |
Показательные уравнения и неравенства Вариант 3 | ||
А) Выберите номер правильного ответа | ||
А1 |
Найдите сумму корней уравнения : |
1) 2) 3) 4) |
А2 |
Если - корень уравнения, то значение выраженияравно |
1) 2) 3) 4) |
А3 |
Найдите произведение корней уравнения |
1) 2) 3) 4) |
А4 |
Найдите наименьшее целое решение неравенства |
1) 2) 3) 4) |
А5 |
Найдите наибольшее целое решение неравенства |
1) 2) 3) 4) |
В) Напишите правильный ответ | ||
В1 |
Решите уравнение | |
В2 |
Решите неравенство: | |
В3 |
Если и- решение системы уравненийто значение выраженияравно | |
С) Приведите подробное решение данного задания. | ||
С |
Найдите все значения , при которых уравнениеимеет ровно два корня. |
Показательные уравнения и неравенства Вариант 4 | ||
А) Выберите номер правильного ответа | ||
А1 |
Найдите сумму корней уравнения : |
1) 2) 3) 4) |
А2 |
Если - корень уравнения, то значение выраженияравно |
1) 2) 3) 4) |
А3 |
Найдите произведение корней уравнения |
1) 2) 3) 4) |
А4 |
Найдите наибольшее целое решение неравенства |
1) 2) 3) 4) |
А5 |
Найдите наименьшее целое решение неравенства |
1) 2) 3) 4) |
В) Напишите правильный ответ | ||
В1 |
Решите уравнение | |
В2 |
Решите неравенство: | |
В3 |
Если и- решение системы уравненийто значение выраженияравно | |
С) Приведите подробное решение данного задания. | ||
С |
Найдите все значения , при которых уравнениеимеет ровно один корень. |