МУ ТМ_2015 / Кинематика Т.2 (Живаго, Дадочкина, Ермаченко, и др

К первой группе относятся задачи, в которых по каким-то заданным характеристикам движения требуется установить закон вращательного движения тела.

Во вторую группу входят задачи, в которых по заданному закону движения тела определятся параметры движения тела или отдельных его точек.

Третья группа содержит задачи, в которых по заданным угловым характеристикам движения тела определяются линейные скорости и ускорения каких-то точек тела и наоборот.

Вотдельную группу можно выделить задачи на передачу вращательного движения от одного тела к другому и на преобразование вращательного движения одного тела в поступательное движение другого тела и наоборот.

Задачи с первой по четвертую относятся к первым трем типам; задачи пятая и шестая относятся к последней группе.

Всвязи с многообразием задач по данной теме рекомендовать конкретную последовательность их решения нецелесообразно. Ограничимся лишь общими указаниями, которых необходимо придерживаться при решении задачи любого типа.

1.Понять физический смысл задачи. Выполнить соответствующий условию задачи рисунок − схему.

2.Показать на рисунке все известные и определяемые векторы скоростей и ускорений точек тела, направления вращения тел.

3. Исходя из условия задачи, выбрать нужные зависимости (формулы) между известными и определяемыми величинами и вычислить последние.

11

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Задание 2.01

2.01.1. Тело вращается относительно неподвижной

оси согласно уравнению = t3 – 3t ( − рад, t с). Определить угловую скорость, угловое ускорение, число оборотов, сделанных телом, и характер движения при t1 = 1 c и t2 = 5 c.

2.01.2.Написать уравнение движения диска турбины при пуске её в ход, если известно, что угол поворота

изменяется пропорционально кубу времени, и при t1 = 3 с угловая скорость соответствует 810 об/мин. Определить угловую скорость диска при t2 = 6 c.

2.01.3.Используя уравнение движения диска, полученное в предыдущей задаче, определить скорость и уско-

рение его точек, отстоящих от оси вращения на 0,2 м при t = 1 c.

2.01.4. Диск радиусом 2 м вращается равноускоренно из состояния покоя. Через 10 с точки, лежащие на его ободе, имеют линейную скорость 100 м/с. Найти скорость и ускорение точек обода через 15 с после начала движения.

2.01.5. Зубчатое колесо 1 радиусом R1 = 0,1 м конической пары вращается с постоянной угловой скоростью

30 рад/с. Определить скорость и ускорение точки М, лежащей на колесе 2 радиусом R2 = 0,15 м на расстоянии h = R1 от оси вращения.

2.01.6. Механизм приводится в движение посредством груза 1, опускающегося по наклонной плоскости по закону х = 25t2 + 50 (х – см, t – с). Радиусы барабанов:

12

R2 = 30 cм, r2 = 25 см, R3 = 20 см. Определить скорость и ускорение точки М барабана 3 в момент времени, когда груз пройдёт путь равный 1 м.

Задание 2.02

2.02.1. Тело вращается относительно неподвижной

оси согласно уравнению = 0,01(t3 – 2t) ( − рад, t с). Определить угловую скорость, угловое ускорение, число оборотов, сделанных телом, и характер движения при t1 = 2 c и t2 = 4 c.

2.02.2.Вал начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно и за первые 5 с совершает 12,5 оборотов. Написать уравнение движения вала и определить его угловую скорость через 10 с после начала движения.

2.02.3.Используя закон движения вала, полученный в предыдущей задаче, определить скорость и ускорение точки, лежащей на его поверхности, при t = 2 c, если радиус вала равен 5 см.

2.02.4.Маховое колесо радиусом 1 м вращается

вокруг неподвижной оси по закону = 2 sin t ( − рад,

t с). Определить скорость и ускорение точки, лежащей на ободе маховика, в момент времени t = 2 с.

2.02.5. Шкив 2 радиусом R2 = 0,75 м приводится в движение из состояния покоя бесконечным ремнем от шкива 1 радиусом R1 = 0,3 м, угловое ускорение которого

равно 0,004 рад/с2. Пренебрегая скольжением ремня по шкивам, определить время, по истечении которого, шкив 2 будет делать 300 оборотов в минуту. Определить скорости точек обода шкива 1.

13

2.02.6. Груз 1, опускаясь по закону х = 30t2 + 100 (х – см, t – с), приводит в движение механизм. Радиусы колёс: R2 = 80 cм, r3 = 40 см, R3 = 60 cм. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз 1 пройдёт путь равный 1,2 м.

Задание 2.03

2.03.1. Тело вращается относительно неподвижной оси по закону = 2t3 – 9t2 + 0,12t ( − рад, t с). Определить угловую скорость, угловое ускорение, число оборотов, сделанных телом, и характер движения при t1 = 0 c и t2 = 3 c.

2.03.2.Маховое колесо начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно и через 4 минуты имеет угловую скорость, соответствующую 1200 об/мин. Определить количество оборотов, сделанное маховиком за это время, и написать уравнение его движения.

2.03.3.Используя уравнение вращения махового колеса, полученное в предыдущей задаче, определить скорость и ускорение точки, лежащей на его ободе, при t = 6 с, если диаметр колеса равен 1 м.

2.03.4.Тело совершает колебательные движения во-

круг неподвижной оси по закону = 0,5 sin 2 t ( − рад, t – с). Определить скорость и ускорение точки тела, находящейся на расстоянии 0,2 м от оси вращения в момент времени t = 1 с.

2.03.5. Шкив 1 радиусом R1 = 0,4 м приводится в движение из состояния покоя бесконечным ремнем от шкива 2 радиусом R2 = 0,8 м, угловое ускорение которого равно

0,4 рад/с2. Пренебрегая скольжением ремня по шкивам,

14

определить время, по истечении которого шкив 1 будет делать 300 оборотов в минуту. Вычислить скорость точек обода шкива 1.

2.03.6. Груз 1, опускаясь согласно закону х = 6 + 64t2 (х – см, t – с), приводит в движение механизм. Радиусы колёс: R2 = 100 см, r2 = 64 см, R3 = 80 см. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз 1 пройдёт путь равный 0,64 м.

Задание 2.04

2.04.1. Диск вращается относительно неподвижной оси во время разгона по закону π4 t3 ( − рад, t с).

Определить характер движения, угловую скорость, угловое ускорение и число оборотов, сделанных диском, через 2 и 6 секунд после начала движения.

2.04.2. Тело, имеющее неподвижную ось, получило

начальную угловую скорость 2 рад/с. Сделав 10 оборотов, тело, вследствие трения в подшипниках, остановилось. Определить угловое ускорение, считая его постоянным, и написать уравнение движения тела.

2.04.3.Тело вращается согласно уравнению, полученному в предыдущей задаче. Определить скорость и ускорение точки тела, расположенной в 50 см от оси вращения, при t = 4 с.

2.04.4.Определить скорость и ускорение точки тела, находящейся на расстояние 1 м от оси вращения, в момент времени t = 0,5 с, если тело вращается вокруг неподвижной оси по закону = 2 cos t2 ( − рад, t с).

15

2.04.5. Колесо 1 зубчатой передачи вращается с по-

стоянной угловой скоростью равной 30 рад/с. Определить скорость и ускорение точки М колеса 2, находящейся на расстоянии h = R1 от оси вращения, если считать, что радиусы колёс R1 = 0,05 м, R2 = 0,15 м.

2.04.6. Груз 1, опускаясь по закону х = 50t2 + 100 (х – см, t – с), приводит в движение механизм. Радиусы колёс R2 = 50 см, r2 = 45 см, R3 = 40 см. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз 1 пройдёт путь равный 0,5 м.

Задание 2.05

2.05.1.Ротор генератора вращается согласно уравнению = 9t4 + 3t ( − рад, t с). Определить характер движения, угловую скорость, угловое ускорение и число оборотов ротора через 1 и 3 секунды после начала движения.

2.05.2.С момента выключения мотора винт самолета, вращающийся с угловой скоростью, соответствующей 1200 об/мин, сделал до остановки 80 оборотов. Считая вращение винта равнозамедленным, определить время остановки винта и написать уравнение его движения.

2.05.3.Используя уравнение движения винта, полученное в предыдущей задаче, определить скорость и ускорение точки, расположенной на конце лопасти винта, в начальный момент времени, если диаметр винта равен 2 м.

2.05.4.Ротор радиусом 0,5 м вращается равномерно вокруг своей оси. Скорость точек, лежащих на его внешней поверхности, равна 2 м/с. Сколько оборотов в минуту делает ротор и каково ускорение точек его поверхности?

16

2.05.5. Колесо 1 зубчатой передачи вращается с угло-

вым ускорением, равным 2 рад/с2. Определить угловую скорость колеса 1 и ускорение точки С в тот момент, когда колесо 2 вращается с угловой скоростью соответствующей 600 об/мин, если радиусы колёс R1 = 0,4 м, R2 = 0,8 м.

2.05.6. Груз 1, опускаясь по закону х = 5 + 8t2 (х – см, t – с), приводит в движение механизм. Радиусы колёс: R2 = 16 см, r2 = 10 cм, R3 = 20 см. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз пройдёт путь равный 0,32 м.

Задание 2.06

2.06.1.Тело вращается относительно неподвижной оси по закону = 2t – t3 ( − рад, t с). Определить характер движения, угловую скорость, угловое ускорение и число оборотов, сделанных телом, через 2 и 4 секунды после начала движения.

2.06.2.Угол поворота диска турбины при её запуске изменяется пропорционально квадрату времени. В момент времени t = 5 с угловая скорость диска равна 900 об/мин. Написать уравнение движения диска и определить его угловое ускорение.

2.06.3.Диск вращается согласно уравнению, полученному в предыдущей задаче. Определить скорость и ускорение точки, лежащей на диске на расстоянии 0,1 м от оси вращения, при t = 2 с.

2.06.4.Определить скорость и ускорение точки, находящейся на поверхности Земли, принимая во внимание только вращение Земли вокруг своей оси. Широта точки 60°, радиус Земли принять равным 6370 км.

17

2.06.5. Определить, через какой промежуток времени зубчатое коническое колесо 1 радиусом R1 = 0,1 м будет иметь угловую скорость, соответствующую 4320 об/мин, если оно приводится в движение из состояния покоя колесом 2 радиусом R2 = 0,15 м, вращающимся равноускоренно

сугловым ускорением равным 4 рад/с2.

2.06.6.Груз 1, опускаясь согласно закону х = 15t2 + 30 (х – см, t – с), приводит в движение механизм. Радиусы ко-

лёс: R2 = 30 см, r2 = 20 cм, R3 = 40 см. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз пройдёт путь равный 0,6 м.

Задание 2.07

2.07.1.Вал начинает вращаться согласно уравнению

= (t – 2)3 ( − рад, t с). Определить число оборотов, угловую скорость, угловое ускорение и характер движения вала через 2 и 5 секунд после начала движения.

2.07.2.Вал, начиная вращаться из состояния покоя равноускоренно, за 4 с сделал 12 оборотов. Написать уравнение движения вала и определить его угловую скорость в конце четвертой секунды.

2.07.3.По уравнению движения, полученному в предыдущей задаче, определить скорость и ускорение точек, лежащих на поверхности вала диаметром 0,2 м при t = 2 c.

2.07.4.Маховое колесо радиусом 2 м вращается

вокруг неподвижной оси согласно закону 3cos 4t 3

( − рад, t с). Определить скорость и ускорение точки, лежащей на ободе маховика в момент времени t = 1 c.

18

2.07.5. Ведущий диск 1 фрикционной передачи радиусом R1 = 0,12 м делает 600 оборотов в минуту. Определить угловую скорость ведомого диска 2 радиусом R2 = 0,5 м, скорость и ускорение точки М его обода, если точка сцепления дисков отстоит от оси вращения диска 2 на расстоянии h = 0,1 м.

2.07.6. Механизм приводится в движение посредством груза 1, опускающегося по закону х = 5 + 10t2 (х – см,

t – с). Радиусы колёс: R2 = 20 см, r2 = 15 cм, R3 = 10 cм. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в мо-

мент времени, когда груз пройдёт путь равный 0,4 м.

Задание 2.08

2.08.1.Диск вращается относительно неподвижной оси согласно уравнению = t3 – 4t ( − рад, t с). Опреде-

лить при t1 = 4 c и t2 = 6 с характер движения диска, его угловую скорость, угловое ускорение и количество оборотов.

2.08.2.Начиная вращаться равноускоренно из состояния покоя, маховое колесо через 5 минут имеет угловую скорость соответствующую 1500 об/мин. Определить число оборотов, сделанное маховиком за это время, и написать уравнение его движения.

2.08.3.Используя уравнение движения, полученное в предыдущей задаче, определить скорость и ускорение точек обода маховика диаметром 1,5 м при t = 6 с.

2.08.4.Тело совершает колебательные движения вокруг неподвижной оси согласно уравнению 3 sin 3t .

( − рад, t с). Определить скорость и ускорение точки тела, находящейся на расстоянии 2 м от оси вращения, в момент времени t = 1 с.

19

2.08.5.Колесо 1 радиусом R1 = 0,15 м зубчатой передачи делает 300 оборотов в минуту и приводит в

движение колесо 2, радиусы которого r2 = 0,1 м, R2 = 0,2 м. Определить скорость и ускорение точки М второго колеса.

2.08.6.Опускаясь по закону х = 4 + 8t2 (х – см, t – с), груз 1 приводит в движение механизм. Радиусы колёс:

R2 = 35 cм, r2 = 10 cм, R3 = 10 cм. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз пройдёт путь равный 0,72 м.

Задание 2.09

2.09.1. Вал вращается вокруг неподвижной оси со-

гласно уравнению = t5 – 1 ( − рад, t с). Определить характер движения тела, его угловую скорость, угловое ускорение и количество сделанных оборотов через 1 и 2 секунды после начала движения.

2.09.2. Тело, имея начальную угловую скорость

6 рад/с, остановилось вследствие сопротивления, сделав 18 оборотов. Считая движение равнозамедленным, определить угловое ускорение и написать уравнение движения тела.

2.09.3.Используя уравнение движения тела, полученное в предыдущей задаче, определить начальные скорость и ускорение точки, находящейся от оси вращения на расстоянии равном 0,15 м.

2.09.4.Маховое колесо радиусом 0,5 м вращается равномерно относительно своей оси, делая 2 оборота за 0,25 с. Найти скорость и ускорение точки, лежащей на ободе маховика.

20