7. Дисперсионный анализ

7.1 Основные понятия

Дисперсионный анализ – это информационная технология – технология работ на начальном этапеэкспериментального исследования заинтересовавшей субъект системы или ситуации. На этом этапе у субъекта об этой системе имеются лишьсамые общиепредставления, сложившиеся на базе обыденного (иногда – случайного) с нею (системой или ситуацией) общения. С этих представлений, воплощённых в простейшую исходную модель, которую принятоящиком» (см. модель-схему ниже.), и начинается дисперсионный анализ.

х₁ y₁ Прямоугольник изображает систему,

х₂ y_r = f(x_1,x_2,.._,y₂ стрелки справа – её проявления, эффек-

…. ..x_r-1,x_r…..x_L) _{… …..} ты, которыми система обнаруживает

х _L y_R себя вовне, т.е.внешние эффектыеё

Рис. 7.1 деятельности (функционирования).

Количественной мерой каждого из этих эффектов является значение y_r)–значение того параметра, которым этот эффект характеризуется. Субъект (исследователь) обычно интересуетсяоднимтаким параметром, количественно оценивающим потенциально полезный (или опасный) для него эффект системы (исход ситуации), интересуется, чтобы научиться управлять системой (овладеть ситуацией). Стрелки слева от прямоугольника изображают внешние причины (воздействия), которые, по первым впечатлениям субъекта, способны оказать влияние на выходные параметры (y_r) системы. Эти стрелки тоже помечены символами – символамих_i – численными значениями соответствующих параметров.

Схема предполагает, что при изменениях любого из параметров х_i хотя бы один из параметровy_rсистемы определённым образом изменится. При наличии причинно-следственной связи между входными воздействиями и внешними проявлениями системы взаимозависимость между характеризующими их параметрами могла бы быть описана некой функцией. Однако,при первомзнакомстве с системой конкретный вид этой функции и даже её характернеизвестны. Поэтому на фоне прямоугольника, изображающего собой систему на этом этапе знакомства с нею, эта (пока гипотетическая потому, что совсем неизвестная) зависимость представлена в общем виде – в формепроизвольнойфункцииy_r= f(x₁,… x_i,…,x_L), где индексами i=1,2,3…. L помечены нарастающие значения параметров, характеризующих уровеньвходныхвоздействий (в теории эксперимента их обычно называютфакторами), аy_r (приr=1,2,3….R) – соответствующие значения параметров, характеризующих уровеньвыходныхэффектов системы (в теории эксперимента их обычно называютоткликами).

Здесь L – количество факторов, влияющих на поведении системы иRколичество параметров (откликов), которыми характеризуется (полностью описывается) это поведение.

Отклики, следовательно, в этой модели выглядят набором из Rмногомерных функций типа y_r= f(x₁,… x_i,…,x_L), где i=1,2,3…. Lиr=1,2,3. ….,R.

Их (эти функций) ещё называют операторамисистемы.

Субъект, как отмечалось выше, обычно интересуется одним определённым откликом иликонструируетдля себя некийобобщенныйотклик, адекватно отображающий поведение системыв целом. Например, вместо таких нескольких привлекательных для человека выходных параметров злаковой культуры как количество стеблей у одного растения, количество колосков на каждом стебле, количество зёрен в каждом колосе и вес зернышка, можно рассматриватьодинобобщённый параметр: вес урожая с единицы засеянной культурой площади. Поэтому в начале знакомства с теорией дисперсионного анализа мы будем рассматривать приведённый ниже предельно упрощенный вариант «чёрного ящика».

Исследуемая

материальная система

x₁ …… y=f(x₁,…, x_L).

…..

x_L

Рис. 7.2

Цель дисперсионного анализа состоит:

- в выявлении среди множества x_i,…, x_{L ,}первоначально заподозренных в способности повлиять на величинуy, (выходных) факторов-откликов, техx_l, x_n и x_m , которые наверняка на неё (на величинуy) влияют, и

- в уточнении диапазона изменений каждого выявленного фактора, в пределах которого такие влияния наиболее заметны (например, для x_n: влияние обнаружено при его значениях отminx₃доmax₅).

Подходы к достижению этих целей начнём с упоминания о том, что у любой системы естественного происхождения параметры, характеризующие её внутренние состояния и внешние проявления, чаще всего представляют собой непрерывныенормально распределённые случайные величины.

Интересующий нас единственный отклик y– одна из таких величин, множество{y} её возможных (в разные моменты «истории» системы) значенийy_jобразуютГенеральную совокупность. Она исчерпывающим образом определяется (характеризуются)Математическим ожиданием М{y}случайной величиныyи теми отклонениями от него (отМ{y}) отдельных значений (y_j), мерой которых (отклонений) являетсяГенеральная дисперсия σ². Конкретизация этих двух (М{y}иσ²)параметровнормального распределения однозначно определяет Генеральную совокупность. Однако, такая конкретизация принципиальноневозможна. Судить о значениях этих параметров можнотолько приблизительнопо результатам наблюдения за поведением системы, например, по полученным экспериментально (измеренным прибором) нескольким значениям откликаy_j . Подмножество{y_j} таких случайных величинy_jприj =1,2,3, …,mобразуютвыборкуиз Генеральной совокупности{y}объёмом (или мощностьюm) и должно быть помечено этим индексом{y_jm . ВеличинаY(m)_Ср, которую вычисляют по формулеY(m)_Ср= y_j, называетсявыборочной среднейдля Генеральной совокупности{y}и придостаточно большихm является практически терпимо точнойвыборочной оценкойматематического ожидания М{y}(Y_Ср ~ М{y}). Символ «~» далее будет всегда обозначать: «является выборочной оценкой», а символ Y_m будет обозначать: Y(m)_Ср. На базе этой же выборки{y_m} с объёмомmмогут быть вычислены

выборочная дисперсияs²_m =(y_j –Y_m)²и

исправленнаявыборочная дисперсия s²_иm =(y_j –Y)².

Последняя является несмещённой выборочной оценкойдисперсииσ²Генеральной совокупности{y}: (s² ~σ²) .

В более общей форме, пригодной для вычисления любойисправленной выборочной дисперсииs²_иm и вудобной при использовании компьютерав ходе планировании эксперимента) это выглядит так:

- s² = s²_иm= (Σ_s):f_s, где сложным символом(Σ_s) _m обозначена (обычно предварительно вычисляемая) сумма квадратов отклонений типа(y_j –Y_m), то есть в примере выше

(Σ_s)_m = (y_j –Y_m)^2, , аf_s–параметр исправленной дисперсииs², который характеризует количество её степеней свободы (здесьf_sm= m –1).

Практически для суммы квадратов отклонений удобнее (для компьютерного планирования эксперимента) пользоваться другим выражением (Σ_s) _m =(y_j – Y_m)²=

= [(y_j) ²–2(y_j)Y + Y²] =[(y_j) ²– 2(y_j)(y_j) +(y) ²] =

= (y_j)²– [2(y )(y_j) +(y_j)²] =СК_m– КЧ_m, гдеСК_m=(y_j)² есть сумма квадратов откликов, аКЧ_m – корректирующий член (так в вычислениях подобного рода принято называть поделённый на общее количество измеренийквадрат суммыоткликов КЧ_m =(y_j)².

Действительно: [– 2(y_j)(y_j) +[(y_j)²] =

= [–2(y_j)² + (y_j)²1] =

= [–2(y_j)² +(y_j)²m] =–(y_j)² =– КЧ_m.

Корректирующий член всегдапредставляет собойквадрат суммывсех значений выборки,поделённыйна объём этой выборки (здесь m).

Величины СК_m иКЧ_m – интегральные параметры выборки объёмm.Они здесь–вспомогательные промежуточные величины, а выделены и особо обозначеныв связи с возникающими при таких выделениях удобствами технологического характера, которые проявляются при компьютерном планировании эксперимента.

Далее везде любуюисправленную выборочную дисперсию s²–_илюбмы будем считать по такой «стилизованной» формуле:

s²_илюб =(Σ_илюб):f_илюб=[СК_илюб– КЧ_илюб]:f_илюб, заменяя индекс«люб»конкретным (соответствующим объёму выборки) индексом.

Смысл и удобства введения в рассмотрение и специального обозначения промежуточных величин выявятся позже – при рассмотрениипланирования экспериментапри дисперсионном анализе.