7.2 Однофакторный дисперсионный анализ

С представленными выше воспоминаниями из математической статистики обратимся к теории неизбежного при дисперсионном анализе эксперимента. Для более выпуклого представления («для ясности») теоретических обоснований методики его проведенияпредельно упростимситуацию. В учебных целях предполагаем, что отклик У –один и зависит он отодного-единственногофактора А. Реально таких ситуаций почти не бывает, но упрощение ситуации облегчает усвоение основных принципов построения рабочих методик. А это создаёт надёжную теоретическую базу для усвоения болеесложных реальныхметодик.

7.2.1. Теория однофакторного дисперсионного анализа

При сформулированном выше допущении наш «чёрный ящик» выглядит (см. рисунок) очень просто. Здравый смысл и очевидные соображения подсказывают, что для вы-

явления влияния фактора Ана величину от-

ИССЛЕДУЕМАЯ СИСТЕМА клика следует несколько раз(например,nраз)

измерить этот отклик при разных уровнях

Фактор А Отклик У фактора А (например, приа₁, а₂,.. а_i,...,а_n),

получив при этом n штук (y₁,y₂, _…..y_i… ,y_n),

Рис. 7.3по всей видимости,разныхзначений отклика.

Очевидно, что каждое y_iиз этих значений будет определяться реальным средним значениемY(n)_Ср=y_iи прибавкой к нему ± Δy_i, обусловленной влиянием (если такое влияние имеет место) фактораАна данном (а_i) уровне, и ошибкой ±έ_ип измерительного прибора.

Фиксируем этот факт математически: y_i =Y_Ср± Δy_i ±έ _ип.

Далее Y(n)_Ср будем обозначать символомYn, аέ _ип– символом έ_n

Соотношение y_i =Y_n± Δy_i ±έn равносильно(y_i – Y_n)= ± Δy_i±έn и говорит о том, что дисперсияσ² Генеральной совокупности слагается из двух составляющих:

- σ_έ² – дисперсии, обусловленной неточностью измеренийέ_nи

- σ_А²– дисперсии, обусловленной возможным влиянием фактораА.

Аддитивность дисперсии позволяет записать: σ² =σ_А²+ σ_έ² илиσ_А²=σ²– σ_έ².

На базе множества (y_i –Y_n), гдеi = 1,2,3… n,

можно сформировать упомянутую выше исправленную выборочную дисперсию

s_и² =[(y_i)² –(y_i)²], которая является оценкой дисперсииσ² Генеральной совокупности реальных значений отклика (s_и² ~σ²), ибоσ_n² ≡ σ²). Но это –смешанзная оценка (s_и² ~ σ_А²+ σ_έ²) потому, что в ней обе составляющиене разделены. Разделить составляющие этой смешанной оценки, ограничившись только этимиn измерениями,невозможно. Предварительно следовало бы найтиотдельнооценкуs²_иέдля дисперсии σ_έ²и только потом можно искатьσ_А² простым вычитанием:s² –s²_иέ. ~ σ_А²

Для нахождения выборочной оценки s²_иέдля дисперсииσ_έ² необходимо создать такую выборку{y_kj}_m из Генеральной совокупности{y_ij}, в которой разброс значений был бы обусловлентолько ошибками измерений. Это мог бы быть, например, набор{y_kj}_m изmзначений отклика, полученных водинаковыхусловиях эксперимента, включая ипостоянство уровняфактораА (один из столбцов:а_i =а_k =Const, аj=1,2,3,..,m).

Эта выборзка позволяет вычислить её (выборки) параметры

Y_k=y_kj и s²_иέm = (y_kj –Y_mk)².

Однако, найденную на базе такой выборки по соответствующей формуле исправленную выборочную дисперсию s²_иέm уженельзя вычитатьизs_и², ибо онине есть слагаемые однойоценки Генеральной дисперсии. Они– параметрыразныхвыборок. Из этого следует, что в ходе эксперимента необходимо получить ещё одну выборку{y_ij}_q – такую, на базе которой можно вычислитьи s²_иqέ,и s_q².

Реализовать это можно следующим образом.

Выполнив эксперимент, который был выше представлен первым и предполагал, что y_kj =Y_k± Δ_kj±έ_kj, и получивmзначений отклика, нужно проделатьэту же операциюn раз и получить nмалыхвыборок типа{y_ij}_m, гдеj=1,2,3,..,m, и i=1,2,3,.., n.

Получившаяся новая большая выборка{y_ij}_q – выборка из Генеральной совокупности с объёмомq = nm. то есть для неё теперьY(nm)_Ср≡ Y_q=y_ij.

В итоге мы можем записать: σ_q² =σ_А ² + σ_έ², где:

- σ_έ²– дисперсия, обусловленная инструментальной погрешностью, которая не зависит от индекса измеряемого параметра, а σ_q² ≡ σ²– общая дисперсия большой Генеральной совокупности{y},выборочной оценкой для которой теперь будет

s_q² =(Σ_q):f_q=(Σ_nm):f_nm =[(y_ij)² – (y_ij)²]=

= [СК_q– КЧ_q]. где: - nm – объёмбольшойвыборки и потому выше:

- f_q =nm–1 ≡ f_nm, -(Σ_q)= СК_nm– КЧ_nm ≡ СК_q– КЧ_q=(Σ_nm)

- СК_q=(y_ij)²≡ (y_nm)² =СК_nm и

- КЧ_q=(y_ij)² ≡ (y_km)² = КЧ_nm

Общая дисперсия σ², как и всегда, выглядит составленной из дисперсии σ_qип² ≡ σ_έ², которая обусловленатолько случайными факторами, и дисперсииσ_А², которая обусловленатолькоизменениями уровня фактораА, то есть: σ² =σ_А² + σ_έ².

Если теперь на базе любой части{y_kj)_m общей выборки{y_ij}_q, которая получена приодном и том жезначении фактораА, то есть на баземалойвыборки{y_kj)_m при i=k, вычислить исправленную выборочную дисперсиюs²_έm = (y_kj–Y_k)² , то она будет оценкой групповой исправленной дисперсиималой выборки.

Таких оценок здесь будет n штук, и каждая из них будет характеризовать разброс значений отклика, обусловленныйвнутрисвоей малой выборкитолько случайнымифакторами.

Но n штук малых выборок образуют большую выборку из единой Генеральной совокупности всех возможных значений отклика. В таких случаях математическая статистикапозволяет усреднятьгрупповые оценки s²_έm , а результат усредненияs²_έq – рассматривать в качестве выборочной оценкиs²_έqдисперсии σ_έq²≡ σ_έ²≡ σ_вэ², которую ещё называют дисперсиейвоспроизводимостиэксперимента (s²_έq ≡ s²_вэ~ σ_έ²).

Итак, s²_έq ≡s²_вэ = [s²_έm], а s²_έm = [(y_kj)² – (y_kj)²].

То есть s² _вэ=[(y_kj)² – (y_kj)²] =

=[(y_kj)² –(y_kj)²]=[СК_q– КЧ_q].

Количество степеней свободы дисперсии воспроизводимости f _έв = n(m-1).

Особо подчеркнём, что СК_q =(y_kj)² =(y_ij)², а корректирующий членКЧ_{q “}собирает” со всей выборки средние квадраты откликов, вычисленныев каждомстолбце. В связи с этим (в столбце факторАостаётся неизменным) иКЧ_qможно обозначитьКЧ_qА≡_. КЧ_А– корректирующий член, обусловленный фактором А.

Действительно, КЧ_q = (y_kj)²≡ (y_ij)²] = КЧ_qА ≡_. КЧ_А

Всё это означает, что мы можем переписать выражение для выборочной оценки дисперсии воспроизводимости (повторим, что именно так в теории эксперимента часто называют дисперсию, обусловленную множеством сопровождающих эксперимент случайных факторов, включая ошибки измерений):

s²_вэ ≡ s²_έq = [СК_q– КЧ_qА]=(Σ _вэ):f _вэ, где -f _вэ =n(m-1),

- (Σ_έ)_q= [СК_q– КЧ_А]

- СК_q =(y_ij)² и

- КЧ_А = (y_kj)² .

В этих условиях, в условиях однойбольшой выборки, гдеσ² =σ_А ² + σ_έ²,

а σ_έ ² ≡σ _έq, полученные выборочные оценки ужеможно комбинировать, то есть выразить:s² – s²_вэ ~ σ_qА², то естьs² – s²_вэ ~ σ_А ², где s² ~ σ², s²_вэ ~ σ_έ² и

s² = [СК_q – КЧ_q] , а s²_вэ ≡ s²_έq = [СК_q – КЧ_А].

- s² = s_q² = (Σ_q):f_q = (Σ):f при (Σ_q)≡ (Σ) = [СК – КЧ] и f_q ≡ f = nm–1;

- s²_вэ≡s²_έq= (Σ_έq):f_έq = (Σ_έ):f_έ при (Σ _вэ) =[СК_q – КЧ_q] = [СК – КЧ_А] и f _вэ = n(m–1).

Таким образом, составляющие смешанной оценки для σ² разделены, а

[СК_q– КЧ_q] – [СК_q– КЧ_А] ~ σ_А ²

Но это ещё не вся информация, которую можно извлечь из результатов только что представленного здесь теоретически (мысленного) однофакторного эксперимента, в котором использовалась выборка объёмом q = mхn.

На базе каждой из n введённых в рассмотрение вышемалых выборок, кроме представленной выше собственной групповой дисперсииs²_έm, можно вычислитьгрупповое среднеезначение отклика Y_km =y_kj. Таких средних будетn штук, все они будутразнымииотличающимисяот всеобщего среднего – среднего большой выборкиY_q =y_ij . Это означает, что будут существовать ещё иn штук разностей типа (Y_mq–Y_q), на базе которых можно вычислить некую (ещё одну) выборочную дисперсию

s²_нвыб=(Y_mk–Y_q)²=[(Y_mk)² –(Y_q)²], которая является оценкой (s²_нвыб≡ s²_мг)межгрупповойдисперсииσ_мг² = σ_А²+ σ_ип², обусловленной и ожидаемым влиянием фактораАи неизбежным в ходе эксперимента влиянием случайных факторов. В составе этой дисперсии составляющая от случайных ошибокσ_ип =σ_έ² – уменьшенная вm раз дисперсияσ_ип≡ σ_έ² (σ_мг²= σ_А²+σ_έ²) потому, что она входит в левую часть этого соотношения через вычислениягруппового среднего, при которых

(при вычислениях по формулеY_mk =y_kj)такие ошибки усредняются.

При справедливости соотношений:

[(Y_mk)² –(Y_q)²]~ σ_мг ² иσ_мг ² =σ_А² +σ_έ², очевидно, что

S _мг ~ σ_А² +σ_έ ² или [(Y_mk)² –(Y_q)²]~ σ_А² +σ_έ ²

Переписав последнее соотношение в несколько ином виде, получаем:

s² _мг =[(Y_mk)² –(Y_q)²]~ mσ_А² + σ_έ²или s²_мг ~ mσ_А² + σ_έ²,

откуда следует более точнаяпо сравнению с полученной на предыдущем листе выборочная оценкаs²_А дисперсии σ_А², обусловленной возможным влиянием исследуемого фактораА:

(s_мг ² – s_έ²)~ σ_А ²

Приглядимся более внимательно к выборочной оценке s²_мгдляσ_мг ²

s²_мг =[(Y_mk)² –(Y_q)²]

Во-первых, как обычно, s² _мг = (Σ _мг) : f _мг) Здесьf _мг=n–1, следовательно,

(Σ_мг)=m[(Y_mk)² –(Y_q)²].

Во-вторых,(Y_mk) ² =(y_kj)² =[(y_kj)²] =КЧ_А.

В-третьих,[(Y_q)² = (Y_q)²(1)² = n ²(Y_q)² = n (y_ij)² =

= [ (y_ij)²] = КЧ_q ≡ КЧ_q≡ КЧ.

В итоге имеем:

(Σ _мг) =m[[(Y_mk)² –(Y_q)²] =m{КЧ_А –КЧ} = [КЧ_А –КЧ]

Вспомним теперь ранее полученные соотношения:

(Σ_q)≡ (Σ)= [СК – КЧ] и(Σ_έ)= [СК – КЧ_А].

Сопоставив их с только что полученным (Σ _мг)=[КЧ_А –КЧ], обнаруживаем:

(Σ_q)–(Σ _έ)=[СК– КЧ –СК+ КЧ_А] = [КЧ_А –КЧ]= (Σ_мг).

Мы, следовательно, выяснили, что после вычисления выборочных оценок дисперсий mσ_А² + σ_έ ²иσ² можнонепосредственновычислить остаточную сумму(Σ_мг), которая потребуется для последующего нахождения выборочной оценкиs²_вэдисперсии воспроизводимостиσ_вэ² и уточнить оценку дляσ_А².

Всё это означает, что представленный выше теоретически однофакторный эксперимент позволяет найти две (одна из которых уточняет другую) выборочные оценки для дисперсииσ_А², обусловленной влиянием фактораА. Следовательно, такой эксперимент способен решить основную задачу дисперсионного анализа– задачуразделения составляющих общей дисперсии, а только что рассмотренные соотношения позволяют выполнить все необходимые вычисления, используя измеренные в ходе опытов значения{y_lj} отклика.

Проблему решают три промежуточных интегральных параметра одной и той жевыборки СК, КЧ,КЧ_А.