7.2.2. Планирование эксперимента при однофакторном дисперсионном анализе.

Представленные в предыдущем параграфе теоретические соображения, казалось бы, полностью определяют план эксперимента при однофакторном дисперсионном анализе. Этот план должен выглядеть в форме прямоугольной таблицы (см. таблицы ниже), в

План-матрица однофакторного эксперимента при дисперсионном анализе

Уровни фактораА

Номер опыта	a1	a2	a3	Ai	an
1	y11	y21	y31	….yi1….	yn1
2	y12	y22	y32	….yi2….	yn2
3	y13	y23	y33	….yi3….	yn3
…. j ….	…. y1j….	…. y2….	…. y3j….	…. ….yij…. ….	…. ynj ….
m	y1m	y2m	y3m	….yim….	ynm

соответствующие клеточки которой по ходу эксперимента будут вписываться измеренные значения отклика – элементы множества{y_ij}.

Подготовка план-матрицыпредставляет собой очень малую (только формализованную в рамках приведённых в предыдущем параграфе теоретических рассуждений) часть планирования эксперимента.

Большую часть планирования составляют операции, связанные с подготовкой объекта эксперимента, средств измерения, с обеспечением необходимых условий проведения опытов и сохранения их неизменными в ходе всего эксперимента, а также с правильным оформлением сопровождающей эксперимент документации (соответствующим образом оформленная методика, журнал регистрации хода и данных опытов, передача смен и т. п.).

Эти аспекты планирования (традиционные и рутинные) здесь не рассматриваются. Более существенными для нас выглядят вопросы технологии обработкиданных, которые получают в ходе опытов, и оформления итогов эксперимента в целом. Такие итоги

оформляются в таблицу, макет которой приведён на следующем листе.

Вначале представлены форма и содержание Итоговой таблицы, ноне её окончательный види не тот вид, в котором она предстанет перед экспериментом.

План эксперимента и Итоговую таблицу(см. следующий лист) целесообразно подготовить заблаговременно в форме единойэлектронной(например, вExzele)рабочей таблицы.

Первые слева колонки таблицы (в объёме представленной выше план-матрицы) следует оставить («зарезервировать») для последующего внесения в них (перенос из рабочего журнала после окончания эксперимента) измеренных в опытах значений{y_ij} отклика. До окончания эксперимента всеmстрок вnстолбцах исходной таблицы будут оставаться незаполненными.

Незаполненными до конца эксперимента будут оставаться третий и пятый столбцы Итоговой таблицы, (её макет представлен ниже), предназначенные для внесения

Макет итоговой таблицы однофакторного эксперимента

Источники дисперсии	Матема-тическое ожидание дисперсии	Итоговая сумма квадратов дисперсии (Σ) = СК– КЧ	Кол-во степеней свободы f дисперсии	Выборочная оценка дисперсии
Эксперимент в целом	σ^2	(Σlj) = СКlj –КЧlj	flj = nm-1	(Σlj):(nm-1)
Случайные факторы	σέ^2	(Σέ)= СКlj–КЧА	fέ =n(m-1)	(Σέ):n (m-1)
Исследуемый фактор А	mσА^2+ σέ^2	(Σнвыб)=КЧА–КЧlj	fнвыб =n-1	(Σнвыб):(n -1)

Примечаие:f_έ = f_lj-f_Аj=nm-1- n+1=n(m-1)

в них промежуточных и окончательных результатов обработки экспериментальных данных. Поэтому заготовленная в рамках единой электронной таблицыИтоговая таблицабудет выглядеть иначе (См. ниже). В ней заполнены только те колонки, данные для которых уже известны на момент составления плана,– известны из представленного в параграфе 7.1 теоретического анализа, который, конечно же, всегда предшествует эксперименту. Что касается “пустых» клеток таблицы, то они пусты только внешне. На самом деле в них в ходе программирования эксперимента и вносятся (в режиме записи «невидимых» формул) представленные выше на макете соотношения. По этим соотношениям электронная таблицаподсчитает и автоматически внесётв соответствующую клетку таблицы получившийся там результат обработки данных.

Итоговая таблица однофакторного эксперимента

Источник дисперсии	Матема-тическое ожидание дисперсии	Итоговая сумма квадратов дисперсии (Σ) = [СК– КЧ]		Кол-во степеней свободы f дисперсии	Выборочная оценка s^2 дисперсии
Эксперимент целиком	σ^2			flj = nm-1
Случайные факторы	σέ^2			fέ =n(m-1)
Исследуемый фактор А	mσА^2 + σέ^2			fА=n-1
s А^2выборочная оценка дисперсии

В нижней правой клетке должна «сработать» формула: s_А² = (s _мг ² – s_έq²)

Однако, такой автоматизм следует программно подготовить.

Рассмотрим, что для этого следует предусмотреть в этой же электронной таблице.

В первой сроке третьего столбца Итоговой таблицы, как это показано на её макете, должна находиться итоговая сумм всеобщей дисперсии(Σ_uj), которая вычисляется по формуле: (Σ_lj) = [СК_lj–КЧ_lj]. Именно эта формула и должна быть записана в этой, якобы “пустой” ячейке электронной таблицы. Тогда сумма появится вИтоговой таблицеавтоматически. Но для записи этой формулы в электронную таблицу нужно знать номера двух ячеекэтой жеэлектронной таблицы, в которыхпредварительно заготовленыСК_ljи КЧ_lj. Следовательно, в ходе подготовки плана следует предусмотреть ещё две рабочие ячейки, и в одну из них записать формулу

СК_ij=y_uj², а в другую– КЧ_lj=(y_uj)².

Такие же рассуждения справедливы и относительно формул, которые где-то надо записать, чтобы нужные во второй и третьей строках этого же столбца итоговые формулы

((Σ_έ)= [СК_lj–КЧ_А]и(Σ_мг)=[КЧ_А–КЧ_lj]) «сработали” соответствующим образом.

Все подобные формулы сложны и громоздки для использования в электронных таблицах. Поэтому на практике следует действовать иначе: вначале “запасаться” промежуточными величинами, которые считаются по относительно простым формулам.

В данном случае поступают следующим образом. В строке электронной таблицы, следующей сразу после план-матрицы (на приведённой ниже таблице план-матрица обведена «жирной» линией, а строка помечена символомА_l)в каждой изn ячеек размещается одна та же формулаА_l =y_lj, по которой считается сумма всех откликов соответствующего столбца (заметим, что в ячейкаходного столбца исследуемый фактор А не изменяется, но вычисляемая сумма будет изменятся вместе с номером столбца и эти изменения будут обусловленытолько изменением уровня фактораА, чем и объясняется использование здесь символа А_l). В следующей строке аналогичным образом можно разместить (А_l)²и далее суммирование всех (А_l)², а в самой правой ячейке этой же строки можно разместить формулу для вычисления корректирующего члена.

Ниже в рабочей таблице следует продублировать ячейки основной план-матрицы, разместив в каждой из них алгоритм возведения в квадрат значений отклика, измеренного в каждом опыте. Эти квадраты ({y_ij²}) потребуются в формуле, по которой электронная таблица в (n+2)^ой ячейке этой последней строки вычислит и здесь же “запасёт”СК_ij. Присмотревшись внимательно к дополненной таким образом исходной план-матрице, легко обнаружить, что в ней уже присутствуют не только все промежуточные величины, но и необходимые для вычисления представленных выше трёх итоговых сумм

((Σ_ij),(Σ_έ)и(Σ _мг)) их основные слагаемыеКЧ_ij,СК_ij иКЧ_А.

Номера именно этих трёх ячеек должны фигурировать в алгоритмах вычислений, которые будут вписываться в якобы «пустые» ячейки третьей колонкиИтоговой таблицыэксперимента, подготавливаемой в ходе его планирования.

Подготовка электронной таблицы

для учёта и автоматизированной обработки опытных данных

в ходе эксперимента при однофакторном дисперсионном анализе

n– количество уровней фактора А, m – количество опытов на каждом уровне.

Уровни фактораА

Номер опыта	a1	a2	a3	al	аn	n	nm
1	y11	y21	y31	….yl1	yn1		-
2	y12	y22	y32	….yl2	yn2	-	-
3	y13	y23	y33	….yi3	yn3	-	-
j	y1 j	y2j	y3j	.ylj…	ynj	-	-
m	y1m	y2m	y3m	….ylm.	ynm	-	-
Аl	y1j	y2j	y3	..ylj.	ynj	ylj	КЧlj
(Аl)^2	(А1)^2	(А2)^2	(А2)^2	. (Аl)^2	(Аn)^2	(Аl)^2	КЧA
1	y^211	y^221	y^231	….y^2l1	y^2n1	-	-
2	y^212	y^222	y^232	….y^2l2	y^2 n 2	-	-
3	y^213	y^223	y^233	….y^2l3	y^2n3	-	-
… ..j ….	…. y^21j ….	… y^22j ….	…. y^23j ….	….. ….y^2l…….	….. y^2nj ….	-	-
m	y^21m	y^22m	y^23m	….y^2lm	y^2nm	-	-
y^2lj	y^21j	y^22j	y^23j	y^2lj.	y^2nj	-	СКlj

Рабочие оценки дисперсии (s² – s²_вэ) ~ σ_А ² – грубая оценка и

(s_мг ² – s_έ²)~ σ_А ² – уточнённая оценка) должны бытьпрограммно проверены на значимостьпо известным в математической статистике табличнымкритериям проверки гипотезза пределамиИтоговой таблицы.