7.3.3. Планирование эксперимента при трёхфакторном дисперсионном анализе

Представленные в предыдущем параграфе теоретические соображения позволяют начинать планирование трёхфакторного эксперимента не с план-матрицы, а с подготовки макета Итоговой таблицытрёхфакторного эксперимента (такой макет представлен в начале следующего листа)). На этом макете в клетках-ячейках показаны очевидные соотношения, которые на этапе планирования должны быть введены в них в виде формул для вычисления итогов.

Такую таблицу, как и в предыдущем случае, следовало бы готовить в рамках единой электронной таблицы совместно с план-матрицей трёхфакторного эксперимента, который (план) здесь будет выглядеть существенносложнее, чем при одно- и двухфакторном экспериментах. Это связано с дополнительной необходимостью вычисления построчных промежуточных величин (С_p,С_p²и др.) «нового» фактораС.

Макет итоговой таблицы трёхфакторного эксперимента

Источник дисперсии	Математи-ческое ожидание дисперсии			Итоговая сумма квадратов дисперсии	Кол-во степеней свободы f дисперсии		Выборочная оценка дисперсии
Эксперимент целиком	σ^2			(Σ∑) =СК∑КЧ∑	Fijp= nmk–1		(Σijp):(nmk-1)
Случайные факторы	σέ^2	(Σέ) =СК∑ –КЧА – КЧB –КЧC + КЧ∑			fέ = nmk – – (n+m+ k–2)		(Σέ) nmk – – (n+m+p–2)
Фактор А	mnσА^2+σέ^2		(ΣА)=КЧА–КЧ∑		fА=n–1		(ΣА):(n–1)
Фактор B	knσB^2+ σέ^2		(ΣB)=КЧB –КЧ∑		fB = m–1		(ΣB):(m –1)
Фактор С	kmσC^2+σέ^2		(ΣC)=КЧC –КЧ∑		fC = k –1		(ΣC):(k–1)
s А^2выборочная оценка дисперсии σА^2
s В^2выборочная оценка дисперсии σВ^2
s С^2выборочная оценка дисперсии σС^2

Примечания:1.mnk;mn,kn,kmи – объёмы выборок («слоёв» в кубическом

«хранилище» откликов) всего и при неизменных уровнях

факторов А,В, и С,соответственно.

2. f_έlj = f_lj– (f_А+ f_B+ f_С) =mnp –1– (n –1+ m–1+ p –1) =

= nmk –1– n +1– m+ 1– k+1= nmk – (n+ m+ k –2).

Если при двухфакторном эксперименте данные всехизмерений (как и при однофакторном) могли быть размещены в одной «плоской» (двухмерной) таблице (содержательной частиПротокола…), наглядным аналогом которой выше была представленастлаж-этажерка, то при трёхфакторном эксперименте в подобную «плоскую» таблицу вместятся данные, полученные только приодномзначении третьего фактора С.

Наглядным образом «хранилища»всехданных трёхфакторного эксперимента может послужитьскладское помещение, заполненное целым рядом (kштук) подобных стеллажей-этажерок, на каждой из которых размещено поnmзначений откликов, измеренных приодном и том жезначении третьего фактора С.

Это трёхмерный образ. Таблица не может быть трёхмерной. Следовательно, для записи всех данных трёхфакторного эксперимента потребуютсяk таблиц. Как каждая такая таблица может выглядеть, показано ниже, где приведена таблица откликов, измеренных принаименьшем значении третьего фактора С: при значенииc₁.

Следовательно, здесь должны быть предусмотрены (и в ходе эксперимента – заполнены) ещё n -1 аналогичных таблиц. В соответствующих клетках-ячейках этих таблиц по соответствующим (обоснованным выше и размещённым в этих ячейках) формулам автоматически будут вычисляться (на основе размещаемых в план-матрице данных измерений) все промежуточные величины, используемые при обработке экспериментальных данных и при вычислениях результатов в соответствующих разделахИтоговой таблицы.

Речь идёт прежде всего о величинах СК_∑,КЧ_∑иКЧ_k, которые теперь должны считаться, если не по новым, то по модифицированным под конкретную ситуацию формулам. В частности, при трёх факторах они будут выглядеть:

СК_∑ = СК_ijp=(y_ijp)²,КЧ_∑ = КЧ_ijp=(y_ijp)²и,

соответственно: КЧ₁ =КЧ_А = (y_ljp)²,

КЧ₂=КЧ_В =(y_ljp)² и

КЧ₃=КЧ_С = (y_ljp)².

Макет первого фрагмента рабочей электронной таблицы для сопровождения трёхфакторного эксперимента повторяют план-матрицу двухфакторного эксперимента. Здесь – рабочая электронная таблица, предусматривающая варьирование уровней факторов АиВпри удержании (в ходе такого двухфакторного эксперимента) фактора С на егопервом(р=1) уровне. По ней ничего невозможно вычислить окончательно: ниКЧ_∑, ниКЧ_А, ниКЧ_В, ниКЧ_С и ниСК_∑.

По этой таблице можно вычислить только одно

(КЧ_С1=y_lj1)слагаемое для последующего вычисленияКЧ_Спо формуле

КЧ_С =КЧ_Сp=(y_ljp)² .

Фрагмент макета рабочей электронной таблицы

для сопровождения трёхфакторного эксперимента

n – количество уровней варьирования фактора А.

m – количество уровней варьирования фактора В.

k – количество уровней варьирования фактора С.

Уровни фактора В m строк	Уровни фактора А а1,а2, а3,… аn n колонок_	Сумма откликов во всех строках yij1	Полный квадрат суммы откликов КЧС1 = (yij1)^2
b1 b2 ….. bj ….. bm	Отклики ….yi11…. ….yi21…. ….. ….yij1… … …..yim1…	Сумма откликов в каждой строке …. ….. Bj1 =yij1 ….	Квадрат суммы откликов в каждой строке (Bj1)^2=(yij1)^2
Количество Уровней Фактора А n	Сумма откликов в столбце Аi1= ylj1	Сумма откликов во всех столбцах yij1	Сюда вписывать ничего не нужно
Уровни фактора В m строк	Квадрат суммы откликов в столбце (Al1)^2= (yij1)^2	Квадрат 1 суммы откликов во всех столбцах (Ai1)^2	Квадрат 1 суммы откликов во всех строках (Bj1)^2
b1 b2 ….. bj ….. bm	Квадраты откликов ….y^2i11…. ….y^2i21…. ….. ….y^2ij1… ….. ….y^2im1…	Сумма квадратов в каждой строке =(yij1)^2	Сюда вписывать ничего не нужно
Количество уровней фактора В m	Сумма квадратов в каждом столбце (yij1)^2	Общая сумма 1 квадратов откликов (yij1)^2	х3p= х31 с1первое значение третьего фактора.

Для вычисления других частичных сумм для КЧ_Сp при последующих уровнях фактора С (уровняхc_p, гдер=2,3,4,…k) потребуются, как сказано выше, ещёk-1 аналогичных фрагментов таблицы.

На первом фрагменте рабочей таблицы в правую нижнюю ячейку для сведения заносится первое значение третьего фактора (х_3p= = х₃₁ с₁), а все данные измерений и промежуточные результаты их обработки имеетодин тотже третий индекс, а именноp=1.

В каждом из последующих точно таких жефрагментов таблицы значение третьего индекса изменяется на единицу (p= 2,p=3,p= 4,… доp = k, а в его правую нижнюю ячейку заносится соответствующее значение третьего факторах_3p

(х₃₂ с_2, х₃₃ с_3,.. …. дох_3k с_k).

Второй фрагмент макета рабочей электронной таблицы

для сопровождения трёхфакторного эксперимента

n – количество уровней варьирования фактора А.

m – количество уровней варьирования фактора В.

k – количество уровней варьирования фактора С.

Уровни фактора В m строк	Уровни фактора А а1,а2, а3,… аn n колонок	Сумма откликов во всех строках ylj2	Полный квадрат суммы откликов КЧС2 = (ylj2)^2
b1 b2 ….. bj ….. bm	Отклики ….yl12…. ….yl22…. ….. ….ylj2… ….. …..ylm2…	Сумма откликов в каждой строке …. ….. Bj2 =ylj2 ….	Квадрат суммы откликов в каждой строке …. ….. (Bj2)^2=(ylj2)^2 ….
Количество уровней фактора А n	Сумма откликов в каждом столбце Аl2= ylj2	Сумма откликов во всех столбцах ylj2	Сюда вписывать ничего не нужно
Уровни фактора В m строк	Квадрат суммы откликов в столбце (Al2)^2= (ylj1)^2	Квадрат 2 суммы откликов во всех столбцах (Al2)^2	Квадрат 2 суммы откликов во всех строках (Bj2)^2
b1 b2 ….. bj ….. bm	Квадраты откликов ….y^2l12…. ….y^2l22…. ….. ….y^2lj2… ….. ….y^2lm2…	Сумма квадратов в каждой строке ….. ….. (ylj2)^2 …..	Сюда вписывать ничего не нужно
Количество уровней фактора В m	Сумма квадратов в каждом столбце (ylj2)^2	Общая сумма 2 квадратов откликов (yij2)^2	х3p= х32 с2 – второе значение третьего фактора.

Выше представлен второйтакой фрагмент большой рабочей таблицы, а ниже – последний.

Таким образом, для записи данных всехизмерений и предварительной их автоматической обработки (повторим ещё раз) следует «заготовить»kштук очень похожих друг на друга, норазныхфрагментов-сечений общей «трёхмерной» рабочей таблицы.

Ниже представлен последний из них.

Последний фрагмент макета рабочей электронной таблицы

для сопровождения трёхфакторного эксперимента

n – количество уровней варьирования фактора А.

m – количество уровней варьирования фактора В.

k – количество уровней варьирования фактора С.

Уровни фактора В m строк	Уровни фактора А а1,а2, а3,… аn n колонок _	Сумма откликов во всех строках yijk	Полный квадрат суммы откликов КЧСk = (yijk)^2
b1 b2 ….. bj ….. bm	Отклики ….yi1n…. ….yi2n …. ….. ….yijk … ….. …..yimk …	Сумма откликов в каждой строке …. ….. Bjk =yijk ….	Квадрат суммы откликов в каждой строке …. ….. (Bjk)^2=(yijk)^2 ….
Количество Уровне фактора А - n	Сумма откликов в каждом столбце Аln= yijk)	Сумма откликов во всех столбцах yijk)	Сюда вписывать ничего не нужно
Уровни фактора В m строк	Квадрат суммы откликов в столбце (Aln)^2= (yljk)^2	Квадрат nсуммы откликов во всех столбцах (Alk)^2	Квадрат nсуммы откликов во всех строках (Bjk)^2
b1 b2 ….. bj ….. bm	Квадраты откликов ….y^2i1k…. ….y^2i2k…. ….. ….y^2ijk… ….. ….y^2imk…	Сумма квадратов в каждой строке ….. ….. (yijk)^2 …..	Сюда вписывать ничего не нужно
Количество уровней фактора В – m	Сумма квадратов в каждом столбце (yijk)^2	Общая сумма k квадратов откликов (yljk)^2	х3p = х3k сk – наибольшее значение третьего фактора.

Но на этом, однако, «заготовки» не заканчиваются. Ведь для того, чтобы «собрать» суммуКЧ_С =(y_ijp)² следует где-то предусмотреть ячейку для размещения в ней соответствующей формулы, содержащей ссылки наодноимённыеячейкивсех kфрагментов единой таблицы. Далее потребуются ячейки и для ещё более трудного «собирания» промежуточных величин КЧ_А иКЧ_В по формулам

КЧ_А =(y_ljp)² иКЧ_В =(y_ijp)².

Наконец, потребуются дополнительные ячейки для формул

СК_∑ = СК_ijp=(y_ijp)²иКЧ_∑ = КЧ_ljp=(y_ljp)², ибо промежуточные величиныСК_∑ = СК_ljpиКЧ_∑ = КЧ_ljpтоже нужны для «срабатывания»Итоговой таблицы, в которой должны быть ссылки именно на эти дополнительные ячейки единой рабочей электронной таблицы

Выделить в Excel’е ещё группу ячеек и ввести в них формулы со ссылками на соответствующие ячейки каждого из представленных выше похожих друг на друга фрагментов-сечений электронной таблицы – дело не хитрое и этим планирование эксперимента при проведении трёхфакторного дисперсионного анализа заканчивается. Выглядит такое планирование довольно громоздким. Вряд ли оно применимо практически