- •7. Дисперсионный анализ
- •7.1 Основные понятия
- •7.2 Однофакторный дисперсионный анализ
- •7.2.1. Теория однофакторного дисперсионного анализа
- •7.2.2. Планирование эксперимента при однофакторном дисперсионном анализе.
- •7.3 Двухфакторный дисперсионный анализ
- •7.3.1. Общие теоретические соображения
- •7.3.2. Планирование эксперимента при двухфакторном дисперсионном анализе
- •7.3 Трёхфакторный дисперсионный анализ
- •7.3.1 Общие теоретические соображения
- •7.3.3. Планирование эксперимента при трёхфакторном дисперсионном анализе
- •7.4. Многофакторный дисперсионный анализ
- •7.4.1. Общие теоретические соображения
7.3.2. Планирование эксперимента при двухфакторном дисперсионном анализе
Представленные в предыдущем параграфе теоретические соображения определяют форму плана эксперимента при двухфакторном дисперсионном анализе. Этот план должен выглядеть в форме прямоугольной таблицы, в клеточки которой по ходу эксперимента будут вписываться измеренные значения отклика – множество{yij}. Она (матрица), как и в случае однофакторного эксперимента, станет, основойрабочей электронной таблицы, способ построения и использования, которой в основном уже известны, но ещё раз будут рассмотрены ниже, а сейчас уместно начать сИтоговой таблицыдвухфакторного эксперимента (её макет представлен на следующем листе).
На этом макете в клетках-ячейках показаны теперь уже (после теоретического анализа) очевидные соотношения, которые должны быть внесены в них в виде формул для вычисления окончательных итогов.
Такую таблицу, как и в предыдущем случае, следует подготовить на основе изложенных выше теоретических соображений в рамках единой электронной таблицы совместно с план-матрицей двухфакторного эксперимента.
Макет план-матрицы двухфакторного эксперимента
n уровней фактора А
m уровней фактора В |
a1 |
a2 |
a3 |
al |
an |
b1 |
y11 |
y21 |
y31 |
….yl1…. |
уn1 |
b2 |
y12 |
y22 |
y32 |
….yl2…. |
yn2 |
b3 |
y13 |
y23 |
y33 |
….yl3…. |
yn3
|
…. bj ….. |
….. y1j ….. |
… y2j….. |
…. y3j….. |
……. ….ylj… …... |
….. ynj ….. |
bm |
y1m |
ym2 |
y3m |
….ylm…. |
ynm |
Эта таблица, как и план (который и теперь будет похож на стеллаж-этажерку), будет выглядеть несколько сложнее, чем при однофакторном эксперименте. Это связано с дополнительной необходимостью вычисления построчных промежуточных величин (Bj,Bj2 КЧB, и др.) для появившегося здесь второго фактора В.
Такая рабочая таблица может выглядеть и иначе. Важно только, чтобы в ней была предусмотрена возможность вычисления в определённых ячейках используемых в ней промежуточных величин:
СКlj =(yij)2,КЧA =(Al)2,КЧB= (Bj)2 и КЧlj =(yij)2.
Сославшись в формулах соответствующих ячеек-клеток Итоговой таблицына номера ячеек рабочей электронной таблицы, в которых приведены только что перечисленные формулы, мы тем самым обеспечиваем возможностьавтоматического заполненияИтоговой таблицыдвухфакторного эксперимента в момент записи в план-матрицу результатапоследнего измерения.
Макет рабочей электронной таблицы
для сопровождения двухфакторного эксперимента
n– количество уровней варьирования фактора А.
m– количество уровней варьирования фактора В.
Уровни Фактора В (m строк) |
Уровни фактора А a1, a2,…al,…………an (n колонок) |
Полная сумма откликов ylj |
Общий корректирующий член КЧlj = (yij)2 |
b1 b2 b3 ….. bj ….. bm |
….yl1…. ….yl2…. ….yl3… ….. ….ylj… …..ylm… |
Сумма откликов в каждой строке …. …. Bj=ylj …. ….. |
Квадрат суммы в каждой строке …. …. (Вj)2 = (yij)2 …. ….. |
|
Сумма откликов в каждом столбце Аl= yij |
Полная сумма сумм квадратов (Al)2 |
Корректирующий член для А КЧA=(Al)2 |
n |
Квадрат суммы в каждом столбце (Al)2= (yij)2 |
Полная сумма сумм квадратов (Вj)2 |
Корректирующий член для В КЧB= (Bj)2 |
b1 b2 b3 ….. bj ….. bm |
….y2l1…. ….y2l2…. ….y2l3… ….. ….y2lj… ….. ….y2lm… |
Сумма квадратов в каждой строке …. …. …. (yij)2 …. |
Сюда вписывать ничего не нужно |
m |
Сумма квадратов в каждом столбце (yij)2 |
Сумма сумм квадратов (yij)2 |
Сумма всех квадратов СКij =(yij)2 |
Макет итоговой таблицы двухфакторного эксперимента
Источник дисперсии |
Матема-тическое ожидание дисперсии |
Итоговая сумма квадратов дисперсии (Σ) = СК– КЧ |
Кол-во степеней свободы f дисперсии |
Выборочная оценка дисперсии |
Эксперимент в целом |
σА2 |
(Σlj) = СКij–КЧij |
fij = nm-1 |
(Σij) |
Случайные факторы |
σέ2 |
(Σέ) =СКij – КЧА – КЧB–КЧlj |
fέ = =(n-1)(m-1) |
(Σέ) (n -1)(m-1) |
Исследуемый фактор А |
mσА2 + σέ2 |
(Σ Аε)=КЧА–КЧij |
f Аε = n-1 |
(Σ Аε) |
Исследуемый фактор B |
nσB2 + σέ2 |
(Σ Вε)= КЧB–КЧij |
f Вε = m-1 |
(Σ Вε) |
s А2 выборочная оценка дисперсии σА2 |
| |||
s В2 выборочная оценка дисперсии σВ2 |
|
Примечаие:fέ = fij– (fА+ fB) =nm-1- (n -1+ m-1) = nm-1- n +1- m+1
= nm-1- n – m = n(m-1)-(m-1) = (m-1)(n -1)
После этого остаётся только проинтерпретировать эти итоги, проведя проверку статистических гипотез о значимостифакторных дисперсий.