Критерии устойчивости

Прямой метод анализа устойчивости систем, основанный на вычислении корней характеристического уравнения, связан с необходимостью определения корней. Вычисление корней для характеристических уравнений 1-й и 2-й степени достаточно просто. Существуют общие выражения для корней уравнений 3-й и 4-й степени, но эти выражения громоздки и практически малопригодны. Для уравнений более высоких степеней вообще невозможно написать выражения для определения корней. Поэтому важное значение для определения устойчивости системы приобретают правила, которые позволяют определить устойчивость системы без определения корней. Эти правила называют критериями устойчивости. С помощью критериев устойчивости можно не только установить, устойчива или нет система, но и выяснить, как влияют на устойчивость те или иные параметры и структурные изменения в системе. Различают две группы критериев устойчивости: алгебраические (Рауса и Гурвица), основанные на анализе коэффициентов характеристического уравнения, и частотные (Михайлова, Найквиста), основанные на анализе частотных характеристик.

Частотные критерии позволяют оценивать устойчивость системы, даже если имеются в наличии экспериментальные частотные характеристики, а уравнение динамики неизвестно.

Критерии Гурвица

Позволяет не решая уравнения, сказать где на комплексной плоскости расположены его корни.

Из коэффициентов характеристического уравнения n-го порядка строится сначала главный определитель Гурвица по следующему правилу.

По главной диагонали определителя слева направо выписываются все коэффициенты характеристического уравнения от а1 до аn в порядке возрастания номеров. Столбцы вверх от главной диагонали дополняются коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз - коэффициентами с последовательно убывающими индексами.

На место коэффициентов с индексами больше n и меньше 0 проставляются нули.

Главный определитель Гурвица:

Если определитель Гурвица положителен, то система устойчива.

Для систем с порядком не выше 5 условие устойчивости по Гурвицу необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица n-1 порядка был положителен.()

Критерий Гурвица не дает возможность оценить запас устойчивость и быстроту затухания колебательного процесса.

Критерий Рауса

Как и критерий Гурвица, этот критерий представляет собой систему неравенств, составленных по особым правилам из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы.

Критерий Рауса удобен, когда заданы численные значения коэффициентов характеристического уравнения. Так как форма алгоритма, с помощью которого составляют таблицу Рауса очень удобна для программирования, то критерий Рауса широко применяют при исследовании с помощью ЭВМ, влияния на устойчивость либо коэффициентов характеристического уравнения, либо отдельных параметров системы.

Частотные критерии устойчивости

Используют для анализа устойчивости частотные характеристики разного рода.

Критерий Михайлова

Для устойчивости замкнутой системы n-ого порядка необходимо и достаточно чтобы при изменении частоты от 0 до бесконечности вектор Михайлова повернулся на угол nπ/2 нигде не обращаясь в 0.

Вектор Михайлова получается на основании характеристического полинома , заменимили оператора дифференцированияР на iw получаем:

–математическая запись вектора Михайлова

С учетом того, что i=-1, i²=-1, (iw)²=-w², (iw)³=-iw³, (iw)⁴=w⁴ и т.д.

четные степени iw вещественны, а нечетные – мнимые.

Тогда вещественная часть

Мнимая часть

Модуль

Фаза

Замкнутая система устойчива, если при изменении частоты от 0 до  кривая Михайлова будет последовательно проходить через соответствующие четверти комплексной плоскости не проходя через начало координат.

Графически это означает.

Кривая, которая ограничивает вершины вектора Михайлова называется кривой Михайлова.

Замкнутая система устойчива, если при изменении частоты от 0 до бесконечности кривая Михайлова последовательно проходит через соответствующие четверти комплексной плоскости, не проходя при этом через начало координат.

Если годограф проходит меньше чем n квадрантов или при обходе нарушается последовательность перехода из квадранта в квадрант, то система неустойчива. Если годограф проходит через начало координат, то система будет на границе устойчивости.