- •2.5. Основные статистические распределения
- •2.5. Равномерное распределение
- •2.5.1. Гипотезы о типе закона распределения исследуемой случайной величины
- •2.6. Нормальное распределение
- •2.6.1. Свойства нормального распределения
- •2.6.2 Плотность вероятности и функция нормального распределения
- •2.6.3. Работа с таблицами стандартного нормального распределения
- •Лабораторная работа №2.6. Параметры нормального распределения
- •Выполнение
- •2.7. Распределение Стьюдента
- •2.7.1. Дополнительно
- •2.7.2. График функции плотности вероятности распределения Стьюдента
- •2.7.2. Примеры расчетов вероятности попадания в заданный интервал с помощью таблиц t-распределения Стьюдента
- •2.8. F-распределение Фишера
- •2.8.1. Работа с таблицами f-распределения Фишера
- •Пример 2.6.
- •Вопросы
Лабораторная работа №2.6. Параметры нормального распределения
Для задачи из ЛР №2.4. построить функцию распределения F(x) и плотность распределенияf(x), исходя из предположения о нормальном распределении случайной величины.
Выполнение
Построим функции для отрезка М[х]-3[х]х М[х]-3[х], так как случайная величина находится в этом интервале с точностью до 0,3%. Для этого в диапазонеA10:T10рассчитаем значениях:
A10: x
B10: =$B$4-3*$B$6
C10: =B10+$B$6/3
Затем необходимо скопировать формулу из ячейки C10 в диапазонD10:T10.
A11:F(x)
A12:f(x)
B11: =НОРМРАСП(B10;$B$4;$B$6;ИСТИНА)
B12: =НОРМРАСП(B10;$B$4;$B$6;ЛОЖЬ)
Затем необходимо скопировать формулы из ячеек B11:B12 в диапазонC11:T12.
Закон распределения можно представить в более наглядной форме, используя диаграммуТип Нестандартная Графики (2 оси),Исходные данныеA10:T10 расположены в строках. Полученная диаграмма представлена на рис.2.7.
По графику без труда можно определить, например, что случайная величина «объем располагаемого сырья» может принимать значения, меньшие 102 с вероятностью 40%; или, вероятность того, что значение случайной величины будет больше 150 равно 3%.
2.7. Распределение Стьюдента
Использовать в решении задач нормальное распределение можно, только если известно стандартное отклонение или дисперсия2 исследуемой случайной величины, что редко имеет место на практике. Поэтому при оценивании параметров и проверке гипотез чаще применяют другое распределение, являющееся, по сути, выборочным аналогом нормального распределения и переходящее в него при бесконечно большом числе наблюдений. Это распределение называют распределением Стьюдента илиt-распределением.
Рассмотрим основные свойства распределения Стьюдента.Во-первых, аналогом безразмерной величинz-статистики, определяемой выражением , служит также безразмерная величинаt-статистика, определяемая выражением .
В этом выражении вместо стандартного отклонения для генеральной совокупности у стоит выборочное стандартное отклонение s,являющееся, по сути, случайной величиной (меняющейся от выборки к выборке) и определяемое по данным наблюденийхk с помощью выражения:
Здесь выборочное среднее обозначено , а черезnобозначено число наблюдений.
Во-вторых, в отличие от стандартного нормального распределения, являющегося функцией лишь одной переменнойz,t-распределение является не только функцией переменнойt, но такжезависит от еще одного параметра - числа степеней свободы . Число степеней свободы равно общему числу наблюдений, уменьшенному на число линейных связей между ними. Если п выборочных наблюдений связаны, s линейными уравнениями, то их распределение имеет =п-s степеней свободы.Линейной связью является, например, формула расчета выборочного среднего и если выборочное среднее входит в формулу какой-либо статистики, то это уменьшает число степеней свободы на единицу.
2.7.1. Дополнительно
Пусть Z0,Z1, …,Z– независимые (0,2) – нормально распределенные случайные величины. Тогда плотность распределения случайной величины
имеет распределение Стьюдента. Функция плотности ft(x)определяетсястепенями свободы, не зависит от дисперсии2 и симметрично относительно точкиx=0.