2.7.2. График функции плотности вероятности распределения Стьюдента

График функции плотности вероятности распределения Стьюдента (рис.2.8), как и стандартного нормального распределения, имеет симметричный колоколообразный вид, но является более "сплюснутым" по вертикали.

Из симметричности распределения Стьюдента вытекает важное соотношение между критическими точками этого распределения t_()=t_1-().

Рис. 2.8. Плотность вероятности распределения Стьюдента (M[X]=0, D[X]=)

На практике обычно используют не таблицы функции распределения Стьюдента F(z),а таблицы критических точек функции распределения Стьюдентаt_(), то есть точек с заданной вероятностью попаданияв начинающиеся от них "хвосты" распределения:Prob(|t|>t_())=, гдеtреализация исследуемой случайной величины, подчиненной распределению Стьюдента.

Распределение Стьюдента используется, например, при проверке гипотез:

• о среднем значении нормальной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии;

• о линейной независимости двух случайных величин (равенстве нулю коэффициента корреляции) - см. ниже в этой главе;

• о статистической значимости коэффициента линейной регрессии.

2.7.2. Примеры расчетов вероятности попадания в заданный интервал с помощью таблиц t-распределения Стьюдента

В таблице функции распределения Стьюдента приводятся обычно, для различных чисел степеней свободы , критические точки, соответствующие приведенным в верхней строке таблицы вероятностямпопадания в правый «хвост» распределения. Иными словами, в приведенной ниже таблице число- это вероятность превышенияt–статистикой приведенного в таблице критического значения при соответствующем числе степеней свободы.

\	0,005	0,01	0,025	0,05	0,1
1	63,657	31,821	12,706	6,314	3,078
…	…	…	…	…	…
10	3,169	2,764	2,228	1,812	1,372
…	…	…	…	…	…
30	2,750	2,457	2,042	1,697	1,310
	2,576	2,326	1,960	1,645	1,282

Рис. 2.4. Односторонняя критическая область распределения Стьюдента

Критическая точка t_,(например,t_10,0,05) находится на пересечении строки с числом степеней свободы (в данном случае=10) и столбца с заданной вероятностью (в данном случае=0,05). Из приведенной таблицы находим, чтоt_10,0,05=1,812. Напомним, что критическая точка в данном случае имеет смысл:Prob{t>t_,}=.

Отметим, что иногда таблицы распределения Стьюдента приводятся для двусторонних критических точек t^s_,, определяемых их условияProb{t>t^s_,}=.

Рис. 2.5. Двусторонняя критическая область распределения Стьюдента

В силу симметричности распределения Стьюдента эти точки связаны с односторонними критическими точками соотношением t^s_,= t_,/2,так как при заданной вероятности а попадания в оба "хвоста" распределения вероятность попадания в один из "хвостов" распределения будет в два раза меньше и равна/2.

Кроме того, в некоторых таблицах распределения Стьюдента вместо малых чисел (вероятностей попадания в "хвост" распределения) приводятся числа 1-(вероятности попадания в интервал (-, t_,) для односторонних критических точек и в интервал [-t^s_,,t^s_,) для двусторонних критических точек).