2.8. F-распределение Фишера

Это распределение (называемое иногда распределением дисперсионного отношения) имеет случайная величина, равная отношению двух независимых случайных величин: величины выражающейся через случайную величину, имеющую распределение² сk₁ степенями свободы и величинывыражающейся через случайную величину, имеющую распределение² сk₂ степенями свободы (распределение², имеет сумма квадратовk₁ независимых стандартно нормально распределенных случайных величин).

Вводя новую случайную величину , мы получим для нее распределение Фишера сk₁иk₂степенями свободы с плотностью вероятности:

,

.

Рис. 2.6. F-распределение Фишера

1^о. Критические точки распределения Фишера обладают следующим свойством:

2^о. Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента сk₂степенями свободы, имеет распределение Фишера с (1,k₂) степе­нями свободы.

Подставляя в определение случайной величины F«выборочное представление случайной величины, можно получить «выборочное представление» случайной величиныF:

где - исправленная выборочная дисперсия для выборки объемап.

Распределение Фишера используется, например, при:

• сравнении двух дисперсий;

• проверке гипотезы об одновременном равенстве нулю всех или части коэффициентов линейной регрессии;

• проверке гипотезы о совпадении всех коэффициентов двух уравнений линейной регрессии.

2.8.1. Работа с таблицами f-распределения Фишера

Таблицы функции F-распределения Фишера на интервале [0,+) обычно приводятся отдельно для различных значений вероятности а попадания в "хвост" функции распределения. Например, для= 0,05 такая таблица имеет вид

k2\k1	1	…	10	…	100	00
1	161	…	242	…	253	254
…	…	…	…	…	…	…
10	4,96	…	2,97	…	2,59	2,54
…	…	…	…	…	…	…
100	3,94	…	1,92	…	1,39	1,28
	3,84	…	1,83	…	1,24	1,00

В этой таблице для различных сочетаний чисел степеней свободы k₁иk₂, приведены критические точки функции распределения Фишера, соответствующие вероятности= 0,05 попадания в "хвост" функции распределения.

Пример 2.6.

Критическая точка F_(k₁,k₂)=F_0,05(10,100) находится в таблице, соответствующей значению= 0,05, на пересечении строкиk₂(в данном случаеk₂= 100) и столбцаk₁(в данном случаеk₁= 10). Из приведенной таблицы на­ходим, чтоF_0,05(10,100) = 1,92. Напомним, что критическая точка в данном случае имеет следую­щий смысл:Prob{F>F_(k₁,k₂)} =.

Отметим, что иногда таблицы F-распределения приводятся для двусторонних критических точекF_(k₁,k₂), определяемых из условия

Prob{F_(k₁,k₂) < F < F _(k₁,k₂)=1-.

Появление здесь величины /2 объясняется тем, что при заданной вероятностипопадания в оба "хвоста" функции распределения вероятность попадания в каждый из "хвостов" функции распределения обычно считается одинаковой. Следовательно, она в два раза меньшеи равна/2.

2. Вопросы

1. Дайте определение случайной величины. Какова связь между случайными величинами и случайными событиями?

2. В чем отличие случайной переменной от неслучайной (детерминированной)? Какие виды случайных переменных Вы знаете? Приведите примеры.

3. Перечислите основные вероятностные характеристики дискретных случайных величин и дайте их определения.

4. Как можно выразить связь между абсолютными и относительными частотами, между относительными и накопительными частотами, между накопительными частотами и функцией распределения дискретной случайной величины?

5. Как можно представить графически абсолютные, относительные, накопительные частоты, функцию распределения дискретной случайной величины?

6. Перечислите основные вероятностные характеристики непрерывных случайных величин и дайте их определения. Какова формальная (аналитическая) и геометрическая связь между эти характеристиками?

7. Какая из величин больше: Prob(a<X<b) илиProb(aXb)?

8. Как рассчитать вероятность попадания дискретных и непрерывных случайных величин в интервал: Prob(a<Xb):

а) с помощью функции распределения;

б) с помощью плотности вероятности для непрерывной случайной величины и с помощью плотности вероятности для дискретной случайной величины?

9. Как можно охарактеризовать среднее значение случайной величины? Дайте определение математического ожидания.

10. Перечислите основные характеристики разброса случайных величин и дайте их определения. Какова их связь между собой?

11. Каково различие в определении математического ожидания для дискретных и непрерывных случайных величин? Что общего в этих определениях?

12. Докажите основные свойства математического ожидания, исходя из его определения.

13. Дайте определение дисперсии для дискретных и не­прерывных случайных величин.

14. Докажите основные свойства дисперсии исходя из ее определе­ния.

15. Выведите формулу связи дисперсии с математическими ожиданиями случайной величины и ее квадрата.

16. Какой вид (аналитический) и графический имеют плотность распределения вероятности и функция распределения стандартного равномерного распределения, определенного на интервале 0x1?

17. Какой вид (аналитический) и графический имеют плотность распределения вероятности и функция распределения стандартного нормального распределения?

18. Что такое распределение Стьюдента?

19. Что такое распределение Фишера?