3.1.1. Коэффициент корреляции для выборки и для генеральной совокупности

В качестве меры для степени линейной связи двух переменных используется коэффициент их корреляции.

По формуле коэффициента корреляции видно, что он будет пол­ожителен, если отклонения переменных XиYот своих средних значении имеют, как правило, одинаковый знак, и отрицательным - если разные знаки.

Рис. 3.1. Типы зависимостей и коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной (так как размерности числителя и знаменателя есть размерности произ­ведения Х Y); его величина не зависит от выбора единиц измерения обеих переменных. Величина коэффициента корреляции меняется от -1 в случае строгой линейной отрицательной связи до +1 в случае строгой линейной положительной связи.

Для оценки значимости коэффициента корреляции можно воспользоваться следующей грубой оценкой:

< 0,3 – линейная связь отсутствует;

0,3  < 0,7 – имеется слабая линейная связь;

 0,7 – имеется сильная линейная связь;

Случаи положительной и отрицательной корреляции переменных (с близкими по модулю к единице коэффициентами корреляции) показаны на рис. 3.1. Близкая к нулю величина коэффициента корреляции говорит об отсутствии линейной связи переменных, но не об отсутствии связи между ними вообще. Это ясно из правой части рис. 3.1, где Х иY,очевидно, связаны друг с другом (лежат на одной окружности), но их коэффициент корреляции близок к нулю. Последнее вытекает их того, что каждой паре одинаковых отклонений переменной X от ее среднего значения соответствуют равные по абсолютной величине положительное и отрицательное отклонения переменнойXот ее среднего. Соответственно, произведения этих отклонений "гасят" друг друга в числителе формулы коэффициента корреляции, и он оказывается близким к нулю. Заметим, что в числителе формулы для выборочного коэффициента корреляции величинХ и Y стоит ихпоказатель ковариации:

Этот показатель, как и коэффициент корреляции, характеризует степень линейной связи величин ХиY, и он также равен нулю, если эти величины независимы. Однако, в отличие от коэффициента корреляции, показатель ковариации не нормирован - он имеет размерность, и его величина зависит от единиц измерения величинХ и Y.В статистическом анализе показатель ковариации сам по себе используется редко; он фигурирует обычно как промежуточный элемент расчета коэффициента корреляции.

Мы вели до сих пор речь о выборочном коэффициенте корреляции величин ХиY,который рассчитывается для оценки степени линейной связи этих величин по данным выборки. При этом истинным показателем степени линейной связи величинХ иYдля закона распределения, имеющегося на генеральной совокупности, является теоретический коэффициент корреляции_XY, оценкой которого является выборочный коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции для генеральной совокупности определяется следующим образом:

Стоящий в числителе этой формулы показатель ковариации величин XиYопределяется следующим образом:

Cov[X,Y]=M[(X-M[X]](Y-M[Y]]

Используя показатель ковариации, удобно записать формулу для дисперсии суммы случайных величин ХиY:

D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2cov[X,Y]

Исходя из определения коэффициента корреляции, покажем, что он равен 1 или -1 при строгой линейной зависимости величин Х и Y и равен нулю в случае их независимости.

Пусть Y=а+bХ.Тогда

Cov[X,Y]=M[(X-M[X])(Y-M[Y])]= M[(X-M[X]](a+bX-M[a+bX])]=

= M[(X-M[X])(a+bX-M[a]-M[bX])] = M[(X-M[X])(a+bX-a-bM[X])] = M[(X-M[X])b(X-M[X])] = bD[X].

Очевидно также, что D[Y]=D[a+bX]=b²D[X], и , то есть коэффициент корреляции равен 1 при положительном коэффициентеb иравен -1 при отрицательномb.ЕслиХ и Yнеза­висимы, то

Cov[X,Y]=M[(X-M[X])(Y-M[Y])] = M[X-M[X]]M[Y-M[Y]] = 00 = 0

но необязательно наоборот.

Итак, равный нулю коэффициент корреляции для генеральной совокупности говорит об отсутствии линейной связи рассматриваемых величин. Однако он не свидетельствует об отсутствии их связи вообще. В случае равенства нулю показателя корреляции, например, величин уровней инфляции и безработицы (а это действительно практически так для периода 1970-х - 1980-х годов для экономики США) нужно не говорить сразу о независимости этих показателей в данный период, а попытаться построить более сложную модель их связи, учитывающую, возможно, как нелинейность саой зависимости, так и наличие в ней запаздываний во времени (лагов), а также инерционность динамики соответствующих величин.