kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Дифференцируемость функций

т. е. производная в данном направлении равна скалярному произведению градиента функции на вектор единичной длины, совпадающий по направлению с вектором l . Аналогично

определяется градиент функции трех переменных u = f(x; y; z) :

	gradu =		@u	i +	@u	j +	@u		k
			@x		@y		@z
и производная по направлению:
@u								l
		= ïlgradu = (gradu;								):
	@l							jlj

Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответствующей линии (поверхности) уровня функции. Направление градиента функции в данной точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке, т. е. при l = gradu

производная		@u		принимает наибольшее значение, равное модулю градиента функции u .
		@l
Вектор gradu обладает следующими дифференциальными свойствами:
1.	grad(c1u1 + c2u2) = c1gradu1 + c2gradu2 , ãäå c1 è c2 постоянные;
2.	grad(u		v) = vgradu + ugradv ;
3.				vgradu	ugradv
	gradu =				2	;
	v			v
4.	gradF (u) = F 0				(u)gradu .

Пример 7. Найти производную функции z = x3 2x2y + xy2 + 1 в точке M(1; 2) в направлении, идущем от этой точки к точке N(4; 6) .

Решение. Найдем частные производные функции z и их значения в точке M :

@x = 3x2 4xy + y2; @y

= 2x2 + 2xy; @x

M = 1;

@y

M = 2:

@z

@z

@z

@z

Направление задается вектором

~

~

l = MN = (3; 4); jMNj = 5:

По формуле (17) имеем:

@z

3

4

= 1

+ 2

= 1:

@l

5

5

11