kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Лекции Кисляков

Элементарная линейная алгебра

2

Список иллюстраций

3

4	Список иллюстраций

Глава 1

Линейные уравнения

1.1Введение.

Линейным уравнением с n неизвестными x1; x2; : : : ; xn называется уравнение вида

a1x1 + a2x2 + + anxn = b;

ãäå a1; a2; : : : ; an данные действительные числа.

Например, линейное уравнение 2x + 3y = 6 (с переменными x и y вместо x1 è x2) описывет прямую, проходящую через точки (3; 0)

è (0; 2).

Подобным образом, с переменными x; y и z вместо x1; x2 è x3 линейное уравнение 2x + 3y + 4z = 12 описывает плоскость, проходящую через точки (6; 0; 0); (0; 4; 0); (0; 0; 3).

Системой m линейных уравнений с n неизвестными x1; x2; : : : ; xn называется семейство линейных уравнений

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + + a2nxn	= b2
am1x1 + am2x2 + + amnxn	.
	= bm

5

6	Глава 1. Линейные уравнения

Такая система имеет решение, если существуют числа x1; x2; ; xn, которые удовлетворяют каждому из уравнений одновременно. Мы говорим, что система совместна, если она имеет решение. В противном случае система называется несовместной.

Заметим, что представленную выше систему можно записать в кратком виде

n

X

aijxj = bi; i = 1; 2; ; m:

j=1

Матрица

2			3
a11	a12		a1n
6a.21	a22		a2.n 7
6am1	am2		amn7
6			7
4			5

называется матрицей коэффициентов системы, в то время как матрица

2a21	a22		a2n	b2 3
a11	a12		a1n	b1

6 .	.		.	7
6am1 am2		amn	bm7
6				7
4				5

называется расширенной матрицей системы.

Геометрически, решение системы линейных уравнений с двумя (или тремя) неизвестными эквивалентно определению имеет ли или нет семейство прямых (или плоскостей) общую точку.

Пример 1.1.1 Решить уравнение

2x + 3y = 6:

Решение. Уравнение 2x+3y = 6 эквивалентно 2x = 6 3y или x =

3 32 y, где y произвольна. Значит имеется бесконечное множество решений.

1.1. Введение.		7
Пример 1.1.2 Решить систему
x + y + z	=	1
x y + z	=	0:

Решение. Мы вычтем второе уравнение из первого, получим 2y =

1 èëè y = 12 . Тогда x = y z = 12 z, где z произвольна. Опять получили бесконечное множество решений.

Пример 1.1.3 Найти полином вида y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3, который проходит через точки ( 3; 2); ( 1; 2); (1; 5); (2; 1).

Решение. Когда x принимает значения 3; 1; 1; 2, тогда y принимает соответствующие значения 2; 2; 5; 1 и мы получаем четыре уравнения с неизвестными a0; a1; a2; a3:

a0 3a1 + 9a2 27a3	= 2
a0 a1 + a2 a3	= 2
a0 + a1 + a2 + a3	=	5
a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3	=	1;

с единственным решением a0 = 93=20; a2 = 221=120; a3 = 23=20; a4 =41=120. Таким образом, искомый полином имеет вид

y = 9320 + 221120 x 2320 x2 12041 x3:

Решение системы, состоящей из одного уравнения, не представляет затруднений. Однако, если мы имеем дело с двумя и более уравнениями, то желательно иметь систематический метод для определения совместности системы и поиска всех е¼ решений.

Вместо того, чтобы ограничивать себя изучением систем линейных уравнений с рациональными или действительными коэффициетами, наша теория на всем протяжении развивается в более общем случае, когда коэффициенты принадлежат произвольному ïîëþ. Ïîëå F есть множество F , на котором определены операции сло-

жения и умножения, которые удовлетворяют известным правилам арифметики рациональных чисел. Имеется десять основных аксиом, которые должны выполняться для поля:

8	Глава 1. Линейные уравнения

АКСИОМЫ ПОЛЯ

1.(a + b) + c = a + (b + c) äëÿ a; b; c èç F ;

2.(ab)c = a(bc) äëÿ âñåõ a; b; c èç F ;

3.a + b = b + a äëÿ âñåõ a; b èç F ;

4.ab = ba äëÿ âñåõ a; b èç F ;

5.существует элемент 0 в F такой, что 0+a = a для всех a из F ;

6.существует элемент 1 в F такой, что 1a = a для всех a из F ;

7.каждому a в F соответствует противоположный по сложению элемент a из F; прич¼м

a + ( a) = 0;

8.каждому ненулевому элементу a в F соответствует обратный по умножению элемент a 1 èç F; ïðè÷¼ì

aa 1 = 1;

9.a(b + c) = ab + ac äëÿ a; b; c èç F ;

10.0 6= 1:

Выполняются также следующие известные правила, мы используем стандартные определения a b = a+( b) и ab = ab 1 äëÿ b 6= 0:

1.1. Введение.

9

(a + b) = ( a) + ( b); (ab) 1 = a 1b 1;

(

a) = a; (a 1) 1 = a;

a

1

b

(a b)

= b a;

=

;

b

a

a

+

c

=

ad + bc

;

b

d

bd

a c

=

ac

;

b d

bd

ab

=

b

;

a

=

ac

;

ac

b

c

c

b

(ab) = ( a)(b) = a( b);

a

=

a

=

a

;

b0a = 0;b

b

( a) 1 = (a 1):

Поля, которые содержат только конечное число элементов, представляют большой интерес во многих разделах математики и е¼ приложений. Нетрудно построить поля, содержащие в точности p

элементов, где p простое число. Сначала мы должны обьяснить идею сложения по модулю è умножения по модулю. Если a есть целое число, мы определим a (mod p) как наименьший остаток от деления a íà p: То есть, если a = bp + r, где b и r целые числа и 0 r < p, тогда a (mod p) = r.

Например, 1 (mod 2) = 1; 3 (mod 3) = 0; 5 (mod 3) = 2.

Тогда сложение и умножение (mod p) определяются так

a b	=	(a + b) (mod p)
a b	=	(ab) (mod p):

Например, если p = 7, то 3 4 = 7(mod 7) = 0 и 3 5 = 15(mod 7) = 1. Привед¼м полную таблицу сложения и умножения (mod 7):

10								Глава 1.			Линейные уравнения
	0	1	2	3	4 5 6				0	1	2	3	4 5 6
0	0	1	2	3	4	5	6	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	0	1	0	1	2	3	4	5	6
2	2	3	4	5	6	0	1	2	0	2	4	6	1	3	5
3	3	4	5	6	0	1	2	3	0	3	6	2	5	1	4
4	4	5	6	0	1	2	3	4	0	4	1	5	2	6	3
5	5	6	0	1	2	3	4	5	0	5	3	1	6	4	2
6	6	0	1	2	3	4	5	6	0	6	5	4	3	2	1

Если мы теперь положим Zp = f0; 1; : : : ; p 1g, то можно до- казать, что Zp есть поле с операциями сложения и умножения по (mod p). Например, противоположный элемент для 3 в Z7 åñòü 4,

значит мы пишем 3 = 4, когда вычисляем в Z7. Обратный эле- ìåíò äëÿ 3 â Z7 это 5, поэтому мы пишем 3 1 = 5, когда вычисляем

â Z7.

На самом деле, мы пишем a b и a b как a + b и ab или a b, когда имеем дело с линейными уравнениями над Zp.

Ïîëå Z2 представляет собой простейшее поле, которое состоит из двух элементов 0; 1 со сложением 1 + 1 = 0. Таким образом в Z2 верно равенство 1 = 1 и арифметика, имеющая место в решении уравнений над Z2, очень проста.

Пример 1.1.4 Решить следующую систему над Z2:

x + y + z = 0 x + y = 1:

Решение. Мы прибавим первое уравнение ко второму и получим y = 1. Тогда x = 1 z = 1 + z, где z произвольна. Следовательно,

решения составят две тройки чисел (x; y; z) = (1; 1; 0) и (0; 1; 1).

Мы используем Q и R для обозначения полей рациональных и

действительных чисел, соответственно. Кроме оговор¼нных случа- ев, используемым полем будет Q.