kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Прямая в пространстве и на плоскости

2.5.Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть даны две точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2) на плоскости. Составим уравнение прямой, проходящей через эти точки. В качестве направляющего вектора s примем вектор M1M 2 :

s = M1M 2 = (x2 − x1, y2 − y1).

Используя формулу (14) при m = x2 − x1, n = y2 − y1, имеем

x − x1	=	y − y1	.	(17)
x2 − x1		y2 − y1

Уравнение (17) называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки.

Пример 13.

Составить уравнения сторон треугольника, вершины которого находятся в точках

A(2, 3), B(4, 7), C(6, 9).

Решение. Составить уравнения сторон треугольника значит составить уравнения прямых, на которых лежат эти стороны. Используя уравнение (17), получаем

x − 2

=

y − 3

4(x

−

2) = 2(y

−

3).

4

−

2

7

−

3

Тогда y = 2x − 1 уравнение стороны AB .

x − 2

=

y − 3

6(x

−

2) = 4(y

−

3).

6

−

2

9

−

3

Следовательно, y = 23 x уравнение стороны AC .

x − 4

=

y − 7

2(x

−

4) = 2(y

−

7).

6

−

4

9

−

7

Значит, y = x + 3 уравнение стороны BC .

2.6.Вычисление угла между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть две пересекающиеся в точке M прямые l1 и l2 задаются соответственно уравнениями

y = k1x + b1 и y = k2x + b2.

y			l2
	6
				ϕ l1
	M
						α2
	α1
						-
O
						x

Пусть прямая l1 образует с осью Ox угол α1, а l2 – угол α2. Определим угол ϕ между прямыми.

11

Из чертежа видно, что α2 = α1 + ϕ как внешний угол треугольника, равный сумме внутренних углов, не смежных с ним, ϕ = α2 − α1,

tg ϕ = tg(α2	−	α1) =		tg α2 − tg α1		.
				1 + tg α1 tg α2
Но tg α1 = k1, tg α2 = k2, поэтому имеем
tg ϕ =			k2 − k1		.		(18)
			1 + k1k2
При этом угол ϕ отсчитывается в направлении от прямой l1							к прямой l2.

Если прямые параллельны или совпадают, то α1 = α2 и, следовательно, tg α1 = tg α2,

т. е.
k1 = k2.	(19)

Равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых.

Если прямые l1 и l2 перпендикулярны, то угол ϕ = 90◦	и tg ϕ не существует. В этом
случае 1 + k1k2 = 0 , или
k1k2 = −1.	(20)

Можно показать и обратное, т. е. формула (20) выражает необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.

Расстояние от точки до прямой выражается так же, как и расстояние от точки до плоскости:

	d =	|Ax1 + By1 + C|			.	(21)
		√A2 + B2
Пример 14.
Найти	угол между прямыми,	заданными уравнениями				5x + 3y + 15 = 0 и
x + 4y − 7	= 0.

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (18), найдем угловые коэффициенты данных прямых. Для этого преобразуем исходные уравнения к виду (16):

5x + 3y + 15 = 0	y = −			5	x − 5;
				3
x + 4y − 7 = 0	y = −	1	x +			7	.
		4				4

	Значит, k1 = −35 , k2 = −41 .		Применяя формулу (18), найдем ϕ :
	tg	ϕ	=	−41 − (−35 )	= 1	ϕ	= 45	o.
				1 + (−41 ) · (−35 )

12

			y		6
	@
	@
X	ϕ @@	ϕ1
	XXXX@
		XX
		@ XX
		@@ XXXXX			XXX x + 4y − 7 = 0
		@	1						XXX
									-
		@@	0		1				x
	5x + 3y + 15 = 0		@

Замечание 3. При другой нумерации прямых ( k1 = −14 , k2 = −53 ) получаем tg ϕ1 =

−1, ϕ1 = 135o. Очевидно, ϕ + ϕ1 = 180o.

Пример 15.								A(3, 4), B(−2, 1), C(−3, −5).
Вершины треугольника		находятся				в точках
Составить уравнение прямой, на которой лежит высота, опущенная из вершины B на
сторону AC.
Решение. Найдем сначала уравнение прямой, проходящей через точки A и C по
формуле (17):
x − 3			=	y − 4			x − 3	=	y − 4	,
3	3			5	4		2	3
− −				− −

откуда выразим y и найдем угловой коэффициент: y = 32 x − 12 , значит, k1 = 32 . Прямая, на которой лежит высота, опущенная из точки B на сторону AC, будет

перпендикулярна прямой, проходящей через точки A и C. Угловой коэффициент этой

прямой обозначим через k2. Используя					условие		перпендикулярности двух прямых,
заданное формулой (20), находим			1				2
			k2 = −		,	k2 = −	3 .
				k1
Cоставим уравнение прямой, проходящей через точку B(−2, 1) и имеющей заданный
угловой коэффициент k2, по формуле (15):
2
y − 1 = −		(x − (−2)),	3(y − 1) + 2(x + 2) = 0, 2x + 3y + 1 = 0.
	3
Пример 16.						Q(6, −4), R(10, 3). Найти длину его высоты,
Дан треугольник с вершинами P (2, −1),
опущенной из вершины R.

Решение. Задача сводится к вычислению расстояния от точки R до прямой P Q.

Запишем уравнение этой прямой. На основании							формулы (17) имеем
x − 2			=	y − (−1)		или	3x + 4y	−	2 = 0.
6	−	2		4	( 1)
				− −	−

Расстояние от точки R(10, 3) до прямой вычислим по формуле (21):

|3 · 10 + 4 · 3 − 2|

d = √ = 8. 32 + 42

Следовательно, длина высоты равна 8.

13

Пример 17.

Даны уравнения сторон параллелограмма x + 2y + 2 = 0, x + y − 4 = 0 и уравнение одной из диагоналей x − 2 = 0. Найти координаты вершин параллелограмма.

Решение. Решая систему уравнений

x + 2y + 2 = 0, x + y − 4 = 0,

найдем точку A(10, −6) – одну из вершин параллелограмма. Две другие вершины найдем как точки пересечения данной диагонали со сторонами, т. е. определим их координаты из систем уравнений

x − 2 = 0		x − 2 = 0.
x + 2y + 2 = 0,	и	x + y − 4 = 0,

Это будут точки B(2, 2) и D(2, −2). Середина диагонали BD находится в точке S(2, 0). Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то четвертая вершина C(x, y) может быть найдена как конец отрезка AC по известному концу A и середине S :

	x + 10	= 2,	y + (−6)	= 0.
	2		2

Отсюда получаем x = −6, y = 6, т. е. точку C(−6, 6) – четвертую вершину параллелограмма ABCD.

y

H@

6

@HH

6

H

@ H

C(−6, 6)

@ HHH

@@

@

HHH

H @

x − 2 = 0

@

HH@

HB(2, 2)

@

@H

1

@ H

10

@

@

-

@

S

r

@

−6

0

@

(2, 0)

@@

HH@

@H

H

@

x + y

−

4 = 0

@H

D(2, −2)

@ HHH

@@

HHH

@

@

H

x + 2y + 2 = 0

HH

A ,

@H

6

HH(10

−6)

−

@ H

14