3. Алгебраические критерии устойчивости.

Представим характеристическое уравнение системы в виде

a_n*Sⁿ+a_n-1*S^n-1 + … +a₁*S+a₀ = 0

Критерий Рауса

1. в первой строке записываются коэффициенты уравнения с чётными индексами в порядке их возрастания

2. во второй строке — с нечётными

3. остальные элементы таблицы определяется по формуле: , где  — номер строки,  — номер столбца

4. число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения

Значения r	Номер строки	Номер столбца
		1	2	3	…
-	1	an	an-2	an-4	…
-	2	an-1	an-3	an-5	…
r0=an/an-1	3	c13=an-2-r0*an-3	c23=an-4-r0*an-5	c33=an-6-r0*an-7	…
r1=an-1/c13	4	c14=an-3-r1*c23	c24=an-5-r1*c33	c34=an-7-r1*c43	…
r2=c13/c14	5	c15=c23-r2*c24	c25=c33-r2*c34	c35=c43-r2*c44	…
r3=c14/c15	6	c16= c24-r3*c25	c26=c34-r3*c35	c36=c44-r3*c45	…

Необходимым и достаточным условием того что все Reλ_i<0 (а значит и устойчивости) является положительность коэффициентов первого столбца.

{1+K_p*W(S)=0

K_p– предельный коэффициент усиления.}

Критерий Гурвица.

Из коэффициентов характеристического уравнения строится матрица  Гурвица  по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a[n-1] до a[0];

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше  ставятся нули.

an-1	an	0	0	…	0
an-3	an-2	an-1	an	…	0
an-5	an-4	an-3	an-2	…	0
…………………………………………………..
0	0	0	0	…	a0

Необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех диагональных миноров данной матрицы:

a[n-1], a[n-1]*a[n-2] – a[n-3]*a[n] и т.д.

Пример а)

при T1 = 0.1, T2 = 0.2.

Пример б)

при T1 = 0.1, T2 = 0.2.

3. Частотный критерий Найквиста.

Недостаток алгебраических методов состоит в том что по ним нельзя определить степень устойчивости.

{Изменение аргумента для сомножителя соответствующего ₁ т.е для полюсов: Re<0 приращение аргумента =+, а для полюсов в правой полуплоскости = -.

Полное изменение аргумента arg D(j) = i

arg D(j) = arg(j-i)  изменение аргумента каждой из компонент

n – порядок системы, m – колтчество полюсов в правой полуплоскости

arg(D(j))=(n-m)-m=(n-2m) при  изменяющемся от - до +

Для устойчивых систем m=0, arg(D(j))=n . Если изменить диапазон  (т.к отрицательных частот не бывает и Д(jw)симметрично отн-но вещ-ой оси), то получим при (0+) arg(D(j))= n/2}

Критерий Найквиста

Для чтобы ЛДС была устойчива в замкнутом состоянии необх и достаточно чтобы ее годограф в разомкнутом состоянии охватывал критическую точку (-;j0) при [0, +] +m/2 раз, где m – число полюсов разомкнутой системы в правой полуплоскости. Число охватов можно заменить числом пересечений. Достаточно рассмотреть отрезок вещественной оси (-; (-1;j0)).

Критерий Найквиста: ЛДС уст в замкн сост общее число пеерходов АФЧХ разомкнутой сист через отрезок действительной оси (-;-1) при изменении частоты от 0 до + было равным +m/2

Учет нулевого полюса будем считать что нулевой полюс находится в левой полуплоскости. Тогда заменим s на e^j где 0,  меняется от 0 до /2. Подставляем это в W(s) и получаем доопреджеление годографа, так чтобы он начинался на действительной оси.

Критерий Найквиста: Для того чтобы ЛДС была устойчивой в замкнутом сост. необх и дост чтобы общее число пересечений фазовой х-ки и оси (-180-k*360) в области положительных амплитуд (L()>0) при изменении частот от 0 до + было равным +m/2

∑число пересеч (-180⁰) = k/2, к – число полюсов системы в правой полупллоскости.