pizhurin_a_a_pizhurin_a_a_modelirovanie_i_optimizaciya_proce

321

3(D 2 - d 2)	( £ ^ _ _ хг |x
n L( D2 + d 2 + d D )	%L(D + d 2 + d D )
l +k e -Xl{k+2) _

(11.18)

Найдя максимум этого выражения, рассматриваемого как функцию от х, полу­ чим оптимальную длину бревен с учетом качества пиломатериалов и заготовок.

В табл. 11.1 приведены результаты решения данной оптимизационной задачи на ЭВМ для заготовок первой группы качества различной длины, вырабатываемых из хлыстов с параметрами: L = 19 м; D = 48 см; d = 14 см, при различных значениях rij.

					Т а б л и ц а 11.1
	/, м		Хопт, M ПрИ Hh ШТ./м
		0,5	1	1,5	2
	0,5
		6,1	4,6	4,1	4,7
	1	6,1	4,6	4,1	6,3
	1,5	5,5	4,6	3,1	4,7
	2	4,9	6,1	4,1	6,3
	2,5	6,1	3,8	5,2	7,9
	3	7,3	4,6	6,2	9,4

11.2. Оптимизация типажа деревообрабатывающего оборудования

Для уяснения сущности задачи обратимся к конкретной ситуации. Двухэтажные лесопильные рамы изготавливают нескольких типов, раз­ личающихся прежде всего величиной просвета. Просвет определяет наи­ больший диаметр бревен, которые можно распиливать на раме. Поэтому лесопильная рама каждого типа ориентирована на распиливание сырья определенного диапазона диаметров.

Чем больше изготавливается типов оборудования, тем эффектив­ нее оно работает в каждом конкретном случае, поскольку обеспечивается лучшее соответствие между номинальными и фактическими условиями его работы. С другой стороны, с увеличением числа типов оборудования возрастают затраты на его разработку, испытания и организацию произ­ водства. Очевидно поэтому, что существуют оптимальное число типов лесопильных рам, различающихся по величине просвета, а также опти­ мальная его величина для каждого типа, при которых минимальны сум­ марные затраты на разработку, производство и эксплуатацию оборудова­ ния. Аналогичным образом можно говорить о выборе оптимальной гаммы фрезерных, токарных, сверлильных станков, прессового оборудования, различающихся значениями своего основного параметра. Подобную же задачу можно рассмотреть по отношению к проектированию транспорт­

ных средств - автомобилей, судов, - оптимизируя число их типов по ве­ личине грузоподъемности.

До сих пор предполагалось, что оптимальный ряд изделий форми­ руют, исходя из значений единственного определяющего параметра: вели­ чины просвета для лесопильных рам, максимального диаметра обрабаты­ ваемых заготовок для токарных станков, грузоподъемности для транс­ портных средств и т. д. Такие задачи будем называть однопараметриче­

скими.

Наряду с ними в технических устройствах могут играть опреде­ ляющую роль сразу несколько параметров. Например, для лесопильных рам это помимо просвета - ход пильной рамки и общая установленная мощность, для токарных станков, кроме диаметра обрабатываемого изде­ лия, это расстояние между центрами и частота вращения шпинделя. По­ добные задачи называются многопараметрическими.

Рассмотрим математическую постановку задачи выбора оптималь­ ного типажа для наиболее простого однопараметрического случая [37].

Обозначим определяющий параметр через х и предположим, что известна функция потребности для данного изделия F(x). По своему смыс­ лу величина F(jc) выражает потребность в изделиях, имеющих величину определяющего параметра, равную или меньшую чем х. Если, например, для лесопильных рам в качестве определяющего параметра выбрана вели­ чина просвета, то величина F(800) означает потребность в лесопильных рамах, имеющих величину просвета, меньшую или равную 800 мм.

Наряду с функцией F(x) будем считать известными следующие функции аргумента х\ С0(х) - стоимость производства одного изделия; Ср(х) - стоимость разработки, испытаний и организации производства но­ вого типа изделия; Сэ(х) - стоимость эксплуатации изделия в единицу вре­ мени. Соответственно, суммарные затраты S можно определить по форму­ ле

S = Sn + Sp+S3,

’

(11.19)

где Su - затраты на изготовление всех изделий; S? - затраты на их разра­ ботку, испытания и запуск в производство; S3 - затраты на эксплуатацию.

Предположим, что разработано N типов рассматриваемых изделий, причем изделие z-ro типа характеризуется значением определяющего па­ раметра, равным xh (z = 1,..., АО. Это означает, что оно применяется в диа­ пазоне значений аргумента х от до Теперь предстоит написать выра­ жение для суммарных затрат S, в котором аргументами будут искомые значения хи х2,..., xNi причем величина N тоже подлежит определению.

Рассмотрим изделия, характеризуемые величиной определяющего параметра х = х,-+1. Разумно предположить, что затраты на изготовление всех таких изделий равны произведению стоимости C0(x/+i) одного изделия и потребности в них. Поскольку, как уже упоминалось, эти изделия ис-

323

пользуются в диапазоне значений х от до xi+\, то потребность в них равна разности Ffo+i) - F(xd- Затраты на производство, следовательно, опреде­ ляются как Co(x/+i)[F(jc,+i) - F(x,)]. Более общим является представление этой величины в виде

С о Ы № +1) - а д г ,

где р, - некоторый коэффициент.

Суммируя по всем /, получим выражение для суммы Sn затрат на изготовление изделий всех типов:

SB = t c 0(xM )[F{xM )-F(x,)Y.

( 11-20)

/=о

Величина Spне зависит от потребности в изделиях и равна

Sp = f c p(xi+I).	(11.21)
1=0

Величина последнего слагаемого в (11.19) зависит как от потребно­ сти в изделиях, так и от общего времени Т их эксплуатации:

5, = J Е С Э(x,+I) [f(*,+1)-F (* ,)] dt.

(11.22)

оi- о

Сучетом уравнений (11.20) - (11.22) выражение (11.19) для сум­ марных затрат примет вид

5 = i c 0(x,+1)[F(*(+I)-F (x<)]‘‘ + t c r i x M ) +

1=0 /=0

+ J	1 С э(*<+1) И х ,+1)- ^ (* ,)]Л .	(11.23)
1=0	/=о

Это минимизируемая целевая функция задачи, а элементами ее ре­ шения служат значения х\, х2,...,х^ а также величина N.

Продолжим рассмотрение задачи, сделав некоторые упрощающие предположения о виде функций, входящих в выражение (11.23).

Допустим, что функции С0(х) и Cp(jc) линейны: С0(х) = ах\ Ср(х) = gx9 где а и g - константы. Функцию потребности F(x) будем считать пропор­ циональной величине х для некоторого диапазона значений аргумента: от минимального его значения д:0 до максимального хм. Вне этого диапазона потребности в изделиях нет. Поэтому

Ь( х- х0) при х0< х < х м;

(0 при *< х0;

Ь(хм-хо) при x > * M.

Величину jlx примем равной 1.

Что касается затрат на эксплуатацию, то будем считать, что их ве­ личиной можно пренебречь по сравнению с остальными составляющими функции S, т. е. примем Сэ(х) = 0.

Учитывая, что число типов изделий составляет несколько единиц, то есть невелико, задачу можно решать перебором по N: сначала предпо­ ложить, что N = 1 и найти соответствующее значение х\ и целевой функции 5, а затем положить N = 2, и при этом N решить задачу: найти оптимальные значения хь х2 и целевой функции и т. д. Затем следует выбрать N, которо­ му соответствует минимальная величина S.

Рассмотрим первые два этапа этой процедуры. Пусть N = 1, то есть рассматривается единственный тип изделия. Тогда, очевидно, оптимальное значение аргумента хх равно хм, а целевая функция, с учетом сделанных

предположений, примет вид
S = abxM(xu- х0) + gxM.	(11.23)
Положим далее N = 2. Теперь
S = axl[b(xl - х0)] + ax2[b(x2 “ *о)-*(*! “ *o)] + g(*i +*2) =
= abxx{xx- х0)+ abx2(x2 - х^ + g(xx+ х2).	(11.24)

Значение переменной х2 следует здесь положить равным хм, после чего найти оптимальное значение х\ из условия минимума целевой функ­ ции (11.24). Выражение для производной от нее по х\ имеет вид

5 ’= 2abx\ - abxo - abxM+ g.

Приравняв эту производную нулю и решив полученное уравнение, найдем оптимальное значение для xi:

xl=(ab(x0 + x j - g ) / ( 2 a b ) .

Аналогичным образом задача решается для большего числа типов изделий.

11.3.Сетевая модель лесопильного потока

Вп. 7.2 были рассмотрены методы сетевого планирования, осно­ ванные на математической теории графов. Эту же теорию можно приме­ нить для построения так называемых сетевых моделей технологических

процессов.

Рассмотрим построение сетевой модели лесопильного потока. В ка­ честве элементов модели рассмотрим различные состояния сырья, полу­ фабрикатов или готовой продукции. Изобразим их на чертеже кружками, расположенными произвольным образом. Например, бревнам, поступаю­

щим на лесопильную раму первого ряда, соответствует кружок 1 (рис. 11.1, а). Кружки 2, 3, 4, 5 символизируют соответственно необрезные дос­ ки, двухкантные брусья, кусковые отходы - горбыли, рейки; опилки. Ис­ пользуя терминологию теории графов, будем называть рассматриваемые элементы (кружки) узлами, или вершинами графа. Пусть / и j - произ­ вольные узлы графа. Соединим их стрелкой, направленной от z к j 9если в данной линии есть оборудование, перерабатывающее сырье или полуфаб­ рикат, характеризуемое узлом /, в промежуточный или готовый продукт, характеризуемый вершинойj. Эту стрелку назовем дугой графа. Будем

Рис. 11.1. Фрагменты сетевой модели лесопильного потока:

а - изображение элементов схемы лесопильного потока; б - фрагмент структурной схемы лесопильного потока; в - учет показателей работы оборудования на структурной схеме

считать, что между любой парой узлов i j допускается не более одной дуги (i,j). Полученная в результате совокупность узлов и дуг называется ори­ ентированным графом или ориентированной сетью. Сетевой график, по­

казанный на рис. 7.3, б представляет собой частный случай ориентирован­ ного графа.

Предположим, что на лесопильной раме первого ряда выпиливается брус. Следовательно, в данном случае из бревна получается двухкантный брус, необрезные доски, горбыли и опилки. С учетом принятых обозначе­ ний, этот процесс изобразится на схеме совокупностью дуг (7, 2); (7, 3); (7, 4); (7, 5) (см. рис. 11.1, а). Предположим теперь, что вслед за лесопильной рамой первого ряда располагается лесопильная рама второго ряда, выпол­ няющая развал бруса. На ней, следовательно, двухкантный брус перераба­ тывается в совокупность обрезных досок, горбылей и опилок. Поэтому процесс развала бруса на лесопильной раме 2-го ряда изобразится набором дуг (5, б); (3, 4); (3, 5) - см. рис. 11.1,6, где узел б символизирует обрезные доски. Если, наконец, в лесопильном цехе имеется некоторое количество обрезных станков, то операциям обрезки досок будут соответствовать на схеме дуги (2, б), (2, 4) и (2, 5). Таким образом, на рис. 11.1,6 условно изо­ бражены операции брусовки, развала бруса на лесопильных рамах первого и второго ряда соответственно и обрезки досок.

Покажем теперь, каким образом подобная схема позволяет учесть основные показатели работы оборудования - производительность и себе­ стоимость обработки.

Пусть ху - производительность некоторого оборудования, перераба­ тывающего сырье или полуфабрикат, соответствующие состоянию /, в продукцию, характеризуемую вершинойу, м3, выработанной за смену про­ дукции. Очевидно, что производительность оборудования - функция от входных параметров потока - характеристик сырья, состояния оборудова­ ния, инструмента и т. д.; возмущающих параметров, например, воздейст­ вий внешней среды, а также функция режимных факторов процесса. Обо­ значим через wi, w2,..., ит- входные и возмущающие параметры, через z\, z2,..., z„ - режимные факторы. Соответственно: U = (ии м2,..., ит) - век­

тор входных и возмущающих параметров: Z = (zu z2,..., z n) - вектор режимных факторов.

Тогда наличие функциональной зависимости между производи­ тельностью оборудования xtJ и векторами U и Z можно отразить запи­ сью хи =Xij(U,Z). На величину xtj накладываются естественные ограни­ чения 0 < Xjj < dij, где dij - максимальная производительность оборудова­ ния. Очевидно, что величина d( j также зависит от векторов U и Z : dy =

di/U ,~Z).

Рассмотрим для того же оборудования величину себестоимости об­ работки 1 м3 сырья или полуфабриката си. Себестоимость ситакже являет­ ся функцией входных, возмущающих и режимных факторов процесса:

си = с и( и 9Z).

Наличие зависимости величин Ху, dy и с,у от векторов U и Z следу­ ет всегда иметь в виду, хотя в дальнейшем мы часто будем опускать аргу­ менты соответствующих функций.

Произведение си• *,у равно себестоимости всей продукции, получен­ ной на данном оборудовании за смену. Просуммировав эти величины по всем дугам графа, изображающего данный процесс, найдем полную себе­ стоимость обработки на всех станках технологической линии. Продемон­ стрируем содержательный смысл введенных понятий на рассмотренной схеме (см. рис. 11.1, в). Для данного объекта *13 - это производительность лесопильной рамы первого ряда, м3, выпиливаемых двухкантных брусьев за смену; х\2 - количество необрезных досок, выпиливаемых данной лесо­ пильной рамой в том же режиме за смену, м3; *J4и *15 - соответственно ко­ личество отходов и опилок, вырабатываемых той же рамой за смену, м3. Аналогично, *36- производительность лесопильной рамы второго ряда вы­ рабатываемых ею обрезных досок за смену, м3; х2б - производительность обрезных станков в тех же единицах и т. д.

При тех же обозначениях величина с36 - это часть себестоимости получения 1 м3 обрезных досок, учитывающая ее долю, связанную с про­ цессом развала бруса на лесопильной раме второго ряда; с34 - доля себе­ стоимости выработки 1 м3 отходов на том же оборудовании. Величи­ на сзб*зб - это составляющая себестоимости всех обрезных досок, выпи­ ленных за смену на лесопильной раме второго ряда, и т. д. Полная себе­ стоимость обработки для данной схемы равна

с \2х 12 + с 13*13 + ^14*14 + ^15*15 + ^ 24*24 + с 25х 25 + с 26х 26 + с 34*34 + с 36*36 »

i, j e а

где а - множество всех дуг для схемы рассматриваемого процесса; символ е - знак принадлежности. Запись £ означает суммирование по всем ду-

/, / е а

гам (/,/), принадлежащим множеству а.

Теперь можно легко определить производительность процесса по каждому из видов продукции. Для этого надо сложить производительности по всем дугам, которые заканчиваются в узле, символизирующем данный продукт. Например, производительность по выработке обрезных досок равна *36 + *26 >поскольку дуги (5, б) и (2, б) заканчиваются в узле б, кото­ рый соответствует обрезным доскам.

Рассмотренный способ формального описания технологического потока возможен благодаря наличию здесь балансовых соотношений вида (1.3). Подобные соотношения справедливы как для процессов механиче­ ской обработки древесины, так и для ряда других технологических процес­ сов. При этом может оказаться, что вместо объемной производительности лучше рассматривать производительность в единицах массы сырья и вы­ рабатываемых продуктов. С учетом этих свойств введенное понятие объ­

328

емной производительности оборудования сближается с формальным поня­ тием потока в математической теории потоков и сетей.

Приведем ряд терминов теории сетей [12], причем некоторые из них отождествим с введенными выше физическими понятиями. Пусть N - множество всех узлов сети G, а а - множество всех ее дуг. Тогда определе­ ние сети как совокупности узлов и дуг можно записать в виде G=[N, а].

Назовем объект, перемещающийся по дуге (/, j) в направлении ее ориентации, потоком по дуге. Можно, например, представить себе сово­ купность дуг сети как разветвленную систему каналов. Тогда дуга сети ин­ терпретируется как ветвь канала, а количество жидкости, проходящей че­ рез данную ветвь за единицу времени, отождествляется с потоком по дан­ ной дуге. Для рассматриваемого объекта физической реализацией понятия потока является приведенная выше величина хи производительности обо­ рудования, перерабатывающего материалы из состояния i в состояние j , поэтому для величины потока по дуге (/,/) сохраним обозначение ху. Каж­ дой дуге (г, j) сети G поставим в соответствие некоторое неотрицательное число dip называемое пропускной способностью дуги. Величина dy по сво­ ему физическому смыслу совпадает с введенным выше понятием макси­ мальной производительности оборудования по определенному виду про­ дукции. Таким образом, введенные величины должны удовлетворять сле­ дующим условиям: Xy>0; d{j>0; xy<dij. Для произвольного узлаj рассмотрим все дуги, которые входят в этот узел. Например, для узла 4 на рис. 11.1, в — это дуги (7, 4 \ (2, 4), (3, 4); для узла 3 - это дуга (7, 3). Узлы, являющиеся началами рассмотренных дуг, обозначим B ( j ). Это определение можно за­ писать следующим образом: B ( j ) = {ieN, (i,j)ea }. Так, для узлов 4, 3, 6 имеем соответственно: В(4У={ 1, 2, 3}; Я(3)={ 1}; В(6)={2, 3}.

Рассмотрим аналогичным образом множество дуг, выходящих из произвольного узла j. Узлы, являющиеся концами этих дуг, назовем A(j)={ieN, (i9j ) e а}. Например, из узла 2 выходят дуги (2, 4), (2, 5), (2, 6). Их концы, т. е. узлы 4, 5 и <5, - это элементы множества А (2): А (2) = {4, 5, 6}. Из узла 6 не выходит ни одна дуга, поэтому А(6)={0}, где 0 - обозна­ чение пустого множества.

С использованием введенных обозначений можно получить крат­ кую запись для производительности процесса по любому из видов про­ дукции. Например, уже рассмотренная величина производительности процесса по выработке обрезных пиломатериалов может быть записана в

виде х26 + х36 =	Х х/б 5 производительность по выработке отходов равна
	ie£(6)
*14 + *24 + *34 =	Х */4 • И вообще производительность по выработке любо-
i eB( 4)
го материала -	готовой продукции, полуфабриката или отходов, характе­
ризуемых узлому, - равна		х...

i e B j

Производительность по пропуску материала, характеризуемого уз­ лом у, равна ]Гдс/у- . В частности, для производительности по распилива-

ieA(j)

нию бревен в рассматриваемом процессе имеем выражение

= Х \2 + * 1 3 + Х 14 + Х 15 •

/еЛ(1)

Переходя к формальному изложению, можно рассмотреть для про­ извольного у-го узла суммарные потоки, втекающие в этот узел и выте­ кающие из него. С учетом предыдущих обозначений суммарный поток, втекающий в узелу, равен ^ Х у 9а суммарный поток, вытекающий из это-

ieBU)

го узла, равен xJi. Чистым потоком Ткдля произвольного узла к на-

ieA(j)

зывается разность между величиной суммарного потока, вытекающего из узла, и величиной потока, втекающего в этот узел:

Тк =	I *,*.	(П.25)
ieA(k)	jeB(k)

Следовательно, если чистый поток положителен, то величина пото­ ка, вытекающего из данного узла, превышает величину втекающего в него потока. Такие узлы называются источниками. Узлы, для которых чистый поток отрицателен, т. е. вытекающий поток меньше втекающего, называ­ ются стоками. Если чистый поток из данного узла равен нулю, то выте­ кающий из него поток равен втекающему. Такие узлы называются проме­ жуточными пунктами. Будем считать, что сумма величин чистых пото­ ков по всем узлам сети равна нулю, т. е.

Х ^ = 0,	(П.26)
А = 1

где N - число узлов сети.

Поясним физический смысл введенных величин для нашей модели. Любой узел, характеризующий промежуточное состояние объекта обра­ ботки, т. е. полуфабрикат, является промежуточным пунктом, поскольку число полуфабрикатов, вырабатываемое за единицу времени, равно числу полуфабрикатов, поступающему на дальнейшую переработку. Все узлы, которые характеризуют конечное состояние объекта обработки, т. е. гото­ вую продукцию и разного рода отходы, являются стоками. В нашей моде­ ли - это узлы, символизирующие обрезные доски, кусковые отходы - рей­ ки и горбыли - и опилки. Источником в рассматриваемой модели является единственный узел, характеризующий сырьё, т. е. бревна, поступающие на распиливание. При заданных величинах 7* условие (11.25) в применении к источнику означает требование достижения заданной производительности

потока по распиливанию сырья. В применении к стоку, символизирующе­ му готовую продукцию, выполнение этого условия означает достижение заданной производительности по выпуску готовой продукции. Для осталь­ ных стоков смысл условия (11.25) сводится к ограничению по количеству отходов каждого вида.

Условие (11.26) в данном случае означает, что объем сырья, посту­ пающего на переработку за единицу времени, равен сумме объемов всех отходов, конечной продукции и потерь за то же время. Каждой дуге (/, j) приписывается неотрицательная величина с#, называемая стоимостью доставки единицы потока из узла i в узел j. По своему физическому смыслу эта величина представляет собой уже рассмотренную выше вели­ чину себестоимости обработки 1м3соответствующего материала.

В теории потоков и сетей разработаны методы, которые позволяют решать следующие задачи.

1. Имеется ориентированная сеть с заданными величинами пропу­ скной способности dij для каждой дуги и величинами чистых потоков Tk

для каждого узла. Требуется найти максимальную величину потока через данную сеть. Этой задаче можно придать следующий физический смысл.

Рассматривается проект лесопильного цеха. При заданном диапазо­ не параметров сырья и известных требованиях к качеству пилопродукции для каждого из станков задается максимальная производительность. Тре­ буется определить максимальную производительность, которую может обеспечить цех по выпуску пилопродукции определенного вида. Прежде чем перейти к математической постановке задачи 1 , преобразуем ее к не­ которому эквивалентному виду. Если в задаче 1 рассматривалось произ­ вольное число источников и стоков, то приведенное ниже преобразование позволит свести задачу к случаю с одним источником и одним стоком. Для этого введем два дополнительных фиктивных узла 0 и (N+1). В каждый узел с положительным значением Тк проведем дугу (О, К) с пропускной способностью dok= 7*. Из каждого узла с отрицательным значением Ткпро­ ведем дугу (iк, N+1) с пропускной способностью <4//+i=-7V Пусть F - сум­ ма положительных значений Тк. Тогда условия (11.25) заменяются сле­ дующими:

	I X - = ^ ;	( п - 2 7 )
	уеЛ(О)
I % -	= 0, к= 1 , 2, ...,М	(11.28)
ieA(k)	jeB(k)
	2 > ,,w+,= F .	(11.29)
	jeB(N+1)

Условие того, чтобы величина потока по любой дуге не превышала величины пропускной способности этой дуги, примет вид