- •Введение
- •1. Понятие оригинала
- •2. Изображение по лапласу
- •3. Изображения простейших элементарных функций
- •4.Свойства преобразования лапласа
- •2С) Теорема подобия
- •3C) Теорема затухания (Теорема смещения)
- •5C) Теорема опережения.
- •10С) Интегрирование изображений.
- •11С) Теорема умножения изображений (теорема Бореля)
- •12С) Умножение оригиналов.
- •5.Примеры нахождения изображений с помощью таблиц 1 и 2
- •6. Импульсные функции и их изображения
- •7.Формула обращения преобразования лапласа
- •1)Тождественные преобразования и применение таблиц 1 и 2.
- •2) Вычисление оригиналов с помощью вычетов.
- •8.Применение преобразования лапласа для решения уравнений и систем
- •8.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •8.2 Решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью интеграла Дюамеля.
- •8.3 Решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
- •8.4 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •8.5 Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.
- •8.6 Интегральные уравнения типа «свертки».
- •8.7 Линейные интегро-дифференциальные уравнения.
- •9.Решение диференциальных уравнений в частных производных и задач математической физики
- •10. Применение операторных методов для анализа линейных систем
- •11. Дискретное преобразование лапласа. Z – преобразование лорана
- •1) Решетчатые функции.
- •2) Конечные разности решетчатых функций.
- •3) Суммирование решетчатых функций.
- •4) Определение дискретного преобразования Лапласа.
- •5) Формула обращения.
- •1С) Теорема линейности.
- •Библиографический список
- •Оглавление
11. Дискретное преобразование лапласа. Z – преобразование лорана
1) Решетчатые функции.
Наряду с функциями, определенным на всей вещественной прямойt, можно рассматривать функции, которые определены только в некоторых точках t1, t2,… Такие функции называют решетчатыми. Мы будем рассматривать функции, определенные только в равноотстоящих точках t=nT, где n – любое целое число, Т – постоянная, называемая периодом дискретности.(рис.11.1).
Эти функции принято обозначать f(nT).
Соответствующим подбором масштаба нетрудно положить Т=1 и рассматривать решетчатую функцию f(n), зависящую от целочисленного аргумента .
Для решетчатых функций вводятся понятия конечных разностей и сумм, которые в некотором смысле соответствуют понятиям производной и интеграла для обычных функций.
2) Конечные разности решетчатых функций.
Выражение
(11.1)
называется конечной разностью первого порядка решетчатой функции, или просто первой разностью.
Ясно, что - представляет собой решетчатую функцию, для которой может быть вычислена конечная разность. Т.о. первая разность от решетчатой функцииназывается разностью второго порядка решетчатой функции, или просто второй разностью
(11.2)
Разность к – го порядка решетчатой функции определяется формулой
(11.3)
Разность любого порядка можно выразить через значения решетчатой функции .
(11.4)
Аналогично для третьей разности:
(11.5)
Для разности произвольного порядка к справедлива формула
(11.6)
где . так называемые биноминальные коэффициенты, такие что:
.
Пример.
Формулы (11.1)-(11.6) позволяют выразить саму решетчатую функцию через её разности различных порядков.
Из (11.1)
(11.7)
Из (11.2)
откуда
. (11.8)
Используя равенство (11.3) при к=3 и равенства (11.4), (11.7), (11.8) получим
(11.9)
Продолжая вычисления можно получить общую формулу
, (11.10)
при n=0
(11.11)
Формулы (11.10) и (11.11) выражают значения решетчатой функции через её конечные разности до порядка l включительно. Эти формулы являются дискретным аналогом разложения непрерывных функций в ряд Тейлора.
Примеры.
1).,
.
2)..
3).
4).
Отметим, что операция взятия конечных разностей является линейной операцией, что следует из определения конечной разности
.
Используя выражение (11.1), можно вывести формулу для вычисления разности произведений 2-х функций
.
3) Суммирование решетчатых функций.
Рассмотрим теперь операцию, которая является обратной по отношению к операции взятия конечной разности. Пусть решетчатая функцияопределена при положительных значениях аргументаn=0,1,2… Требуется найти такую решетчатую функцию F(n), для которой функция является первой разностью.
Эта задача аналогична задаче о нахождении первообразной в анализе обычных функций.
Искомая функция имеет вид
.
Действительно,
Функцию F(n) называют первообразной для решетчатой функции .
Если F(n) является первообразной для , то и функцияF(n)+С так же является первообразной для .
Если решетчатая функция определена при всех целочисленных значениях аргумента, то для определения первообразной необходимо дополнительно потребовать, чтобы при каждом конечномn сходился ряд
.
При этом условии первообразная определяется выражением
.
И общий вид первообразной для данной решетчатой функции определяется формулой
.
Значение постоянной С можно выразить через значение первообразной при некотором фиксированном значении аргумента n=N.
.
Откуда,
.
для любого n>N.
Эта формула является аналогом формулы Ньютона – Лейбница, а выражение стоящее справа иногда называют определенной суммой.
Эту формулу можно преобразовать:
Учитывая, что можно записать и так.
, а
при N=0 получим
.
Пример. Для найти сумму F(n).
по формуле суммы членов геометрической прогрессии.