Доказательство. Пусть z −		произвольная внутренняя точка круга сходимости D. Построим
окружность Г D с	центром в т.				z0 , так,		чтобы т. z лежала внутри этой окружности. По
формуле Коши имеем:	f (z) =	1		∫	f (ζ )	dζ	(п.2.1). Представим подынтегральную функцию в
			2πi
				Г	ζ − z

виде ряда бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

f (ζ ) = f (ζ )	1	∞	n
		= f (ζ ) ∑(z − z0 )

01 − z z0 ζ − z0 n=0 (ζ − z0 )n

ζ− z0

ипроинтегрируем полученный ряд почленно (в силу равномерной сходимости ряда):−

∞

1

f (ζ )

f (z) = ∑(

dζ ) (z − z0 )n . Используя следствие интегральной

формулы

Коши

n+1

n=0

2πi ∫Г (ζ − z0 )

∞

(n)

(z0 )

(п.2.4), полученный ряд можно написать следующим образом: f (z) = ∑

f

(z − z0 )n .

n!

n=0

Если предположить, что существует некоторый степенной ряд, сходящийся к той же функции:

∞

f

(n)

(z0 )

f (z) = ∑cn (z − z0 )n , то последовательно дифференцируя это равенство, получим cn =

,

n!

n=0

что и доказывает единственность разложения.

Замечание. В действительной области бесконечной дифференцируемости функции недостаточно для разложимости в ряд Тейлора (f(x) = ехр(-1/х2)).

Пример. Написать разложение в ряд Маклорена функции f (z) = (1 + z)α и определить его радиус сходимости. Решение. Производная любого порядка в т. z = 0 легко вычисляется:

∞

f (n) (0) =α(α −1)…(α − n +1). Отсюда:

f (z) =1 + ∑

α(α −1)…(α − n +1)

zn . Радиус сходимости

n=1

n!

находится по признаку Даламбера: lim

α … (α −n)zn+1n!

=

z

lim

α −n

=

z

< 1 R = 1.

(n +1)!α … (α −n +1)zn

n→∞

n→∞

n +1

(область сходимости обусловлена тем, что в т. z = 1

функция не является аналитической)

2.6 Ряды Лорана.

При исследовании функций комплексной переменной большую роль играют ряды по степеням (z – z0) более общего вида нежели рассмотренные ранее.

		∞
Определение. Рядом Лорана называется ряд	L = ∑ cn (z − z0 )n .
		n=−∞
Т.е. суммируются все целые степени бинома (z – z0). Поэтому ряды Лорана обычно
	∞	∞	c−n
записывают следующим образом: L = S1 + S2	= ∑cn (z − z0 )n +∑				. Необходимым и
			(z − z0 )	n
	n=0	n=1

достаточным условием сходимости ряда Лорана является, очевидно, одновременная сходимость

рядов S1 и S2 .

Ряд S1 представляет собой обычный степенной ряд (п. 1.6 ) и сходится в круге

радиуса

R1

c центром в т. z0 :

z − z0

<R1. Для исследования второго ряда ( S2 ), сделаем замену

1

∞

переменных:

=ζ . Получившийся ряд

∑c−nζ n

является степенным рядом и сходится в

z

− z0

n=1

области

ζ

< R*.

Возвращаясь

к

исходной

переменной,

получим:

2

1

< R*

z − z

>

1

=R .

Если R2 > R1 , то соответствующий ряд Лорана расходится во

z − z

0

2

0

R*

2

2

всех точках комплексной плоскости. Если же R2 < R1 , то областью сходимости будет кольцо R2 < z − z0 < R1 . Имеет место следующая теорема:

- 13 -

Теорема. Функция f(z), аналитическая в круговом кольце

R2 <

z − z0

< R1 , однозначно

представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана.

(б/д)

Пример.

Найти все разложения функции f (z) =

8z − 4

по степеням z.

(4 + z)(2 − z)2

Решение. Представим функцию следующим образом:

f (z) =

z

−

1

=

z

−

1

.

(2

− z)2

4 + z

4(1 − z / 2)2

4(1

+ z / 4)

1) Каждое из слагаемых разложим в степенной ряд, пользуясь результатом примера §14:

1

∞

(n +1)zn+1

∞

n

+1 zn

f (z) = S1 + S2

=

∑

n

+

∑(−1)

. Ряд S1

сходится в круге

z

<2 ,

4

2

4

n

n=0

n=0

ряд S2 – в круге

z

<4 . После несложных преобразований получаем:

1

∞

n

(−1)n+1

n

f

(z) =

−1 + ∑

+

n

z

− ряд Маклорена, сходящийся в круге

z

<2 .

4

2

n−1

4

n=1

2)

Разложим

функцию относительно

бесконечно

удаленной

точки,

сделав преобразование

1

*

1

1

*

*

∞

n

n+1

∞

n+1

n

n+1

= ∑(n +

∑(−1)

z =

: f

(ζ )

= ζ

−

= S1

+ S2

1)2

ζ

+

4

ζ

.

ζ

(1 − 2ζ )

2

1 + 4ζ

< 1

n=0

1

n=0

Область сходимости первого ряда

ζ

, второго –

ζ

<

. Вернувшись к исходной

2

4

∞

1

переменной, получим:

f (z) = ∑(2n (n +1) + 4n (−1)n+1 )

− ряд Лорана, написанный только

n+1

n=0

z

по отрицательным степеням z , сходящийся в области

z

> 4 .

3) Если теперь сложить ряды

S*

и S2 ( S*

равен первому, а S2 − второму слагаемому исходной

1

1

функции), то мы получим полный ряд Лорана, сходящийся в кольце 2 <

z

< 4 :

*

∞

n−1 1

∞

n+1 zn

f (z) = S1 + S2 =

∑n2

+

∑(−1)

.

z

n

4

n+1

n=1

n=0

Используя следствия интегральной формулы Коши (п.2.4), коэффициенты ряда Лорана могут быть представлены в интегральной форме. Для этого проведем две окружности С1 и С2 с центрами и т. z0 , радиусы которых удовлетворяют условию R2 < r2 <r1 < R1 . Тогда

cn =	1	C∫	f (ζ )	dζ , n = 0, ±1, ± 2,…, где С – произвольный замкнутый контур, лежащий
	2πi		(ζ − z0 )n+1

между окружностями С1 и С2 и содержащий т. z0 .

2.7 Изолированные особые точки аналитической функции.

Определение. Точка z0 называется изолированной особой точкой функции f(z) , если f(z) − однозначная и аналитическая функция в круговом кольце 0 < z − z0 < R , а т. z0 является

особой точкой функции f(z). При этом, в самой т. z0 функция может быть не определена.

По теореме предыдущего параграфа функция f(z) может быть представлена в данном кольце сходящимся рядом Лорана. Возможны три случая:

1.В разложении функции нет слагаемых с отрицательными степенями.

2.Слагаемых с отрицательными степенями конечное число.

3.В разложении присутствует бесконечно много слагаемых с отрицательными степенями. Рассмотрим каждый из этих случаев.

1) Ряд Лорана не содержит отрицательных степеней величины

∞

(z − z0 ) : f (z) = ∑cn (z − z0 )n .

n=0

- 14 -

Можно доказать, что в этом случае существует предел f (z) при z → z0 равный с0 . Если доопределить (или переопределить) функцию в т. z0 значением с0 , то мы получим функцию, аналитическую в круге z − z0 < R . Поэтому особые точки рассмотренного вида называют

устранимыми особыми точками. Если разложение начинается с k-ой степени ( k > 0 ), то точку z0 называют нулем k-го порядка функции f(z).

∞

2) Ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней: f (z) = ∑ cn (z − z0 )n .

n=−m

При выполнении указанного условия точку z0 называют полюсом m-го порядка. Доказывается,

	что предел аналитической функции при		z → z0	в этом случае будет равен ∞.
	Легко видеть, что функция ϕ(z) =	1	в т. z0	в первом случае будет иметь полюс k-го
		f (z)

порядка, а во втором – ноль m – го порядка.

3) Ряд Лорана содержит бесконечное число слагаемых членов разложения в отрицательных степенях. Точка z0 называется в этом случае существенно особой точкой функции f(z). Поведение функции в окрестности существенно особой точки описывается теоремой: Теорема. Для любого числа С и любого ε > 0 в любой окрестности z0 найдется точка, значение функции в которой будет отличаться от С (по модулю) меньше чем на ε , т.е.:

ε > 0 C Κ δ > 0 z1 ( z1 − z0 < δ) f (z1) −C < ε. (б/д)

Для всех сформулированных утверждений верны обратные. Поэтому часто используют геометрическую классификацию изолированных особых точек z0:

Точка z0 называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел функции при z → z0 . Ряд Лорана не содержит отрицательных степеней величины (z − z0 ) .

Точка z0	называется полюсом функции f(z), если lim f (z) = ∞. Ряд Лорана содержит
	z→z0

конечное число отрицательных степеней величины (z − z0 ) .

Точка z0 называется существенно особой точкой функции f(z), если при z → z0 предела

не существует (конечного или бесконечного). Ряд Лорана содержит бесконечное число отрицательных степеней величины (z − z0 ) .

2.8 Бесконечно удаленная особая точка.

Определение. Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости называется изолированной особой точкой однозначной аналитической функции f(z), если вне круга некоторого радиуса R,

т.е. при z > R , нет ни одной конечной особой точки функции f(z).

Для исследования функции в бесконечно удаленной точке сделаем замену z = ζ1 . Функция f (1/ ζ ) будет иметь особенность в точке ζ = 0, причем эта точка будет изолированной, так как

внутри круга		ζ		<	1	других особых точек по условию нет. Являясь аналитической в этом
					R
круге (за исключением т. ζ =							0 ), функция f (1/ ζ )	может быть разложена в ряд Лорана по
степеням ζ. Классификация, описанная в предыдущем параграфе полностью сохраняется.
Однако, если		вернуться к					исходной переменной	z , то ряды по положительным и

отрицательным степеням z			‘поменяются’ местами. Т.е. классификация бесконечно удаленных
точек будет выглядеть следующим образом:
1) Ряд Лорана функции				f(z)	не имеет слагаемых с положительными степенями:
∞	c
f (z) = ∑	−n		z = ∞	−	устранимая особая точка: lim f (z) = c0. Если, при
	n
n=0	z				z→∞

этом, сумма начинается с n = m > 0, то z = ∞ ноль m−го порядка.

- 15 -

2)	Ряд Лорана функции f(z)						имеет конечное число слагаемых с положительными
	степенями:			m
		f (z) = ∑ cn zn z = ∞ − полюс m−го порядка: lim f (z) = ∞.
			n=−∞						z→∞
							f(z)		имеет бесконечное число слагаемых с
3)	Ряд Лорана	функции
									∞
	положительными			степенями:				f (z) = ∑ cn zn z = ∞ существенно особая
									n=−∞
	точка. Вне любого круга радиуса							R	функция f(z) принимает все комплексные
	значения.
	∞
Примеры. 1.	f (z) = ∑(n +1)(z − i)n .						Точка z = i		− полюс 3-го порядка.
	n=−3
		∞		n−1	z	2n−1
2.	f (z) = sin z = ∑(−1)						. Точка z = ∞ − существенно особая точка.
		n=1	(2n −1)!

2.9 Вычетаналитической функции в изолированной особой точке.

Пусть точка z0 является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции f(z) . Согласно предыдущему, в окрестности этой точки f(z) может быть представлена

	∞					1				f (ζ )
единственным образом рядом Лорана : f (z) = ∑ cn (z − z0 )n , где			cn	=							dζ.
										n+1
Определение. Вычетом	n=−∞					2πi C∫(ζ − z0 )
	аналитической функции f(z)	в изолированной особой точке z0
называется комплексное	число, равное значению	интеграла		1			∫ f (ζ )dζ , взятому в
					2πi
								γ

положительном направлении по любому замкнутому контуру, лежащему в области аналитичности функции и содержащему внутри себя единственную особую точку z0.

Вычет обозначается символом Res [f(z), z0].

Нетрудно видеть, что вычет в правильной или устранимой особой точке равен нулю. В полюсе или существенно особой точке вычет равен коэффициенту с-1 ряда Лорана:

Res[ f (z), z

] =

1

f (ζ )dζ = c

.

2πi C∫

0

−1

Пример. Найти вычет функции f (z) =

eiz

, z

= i .

z2 +

1

0

n

*

eit−1

eit

1

1

∞

(it)n

∞

it

Решение. Пусть t = z − i f

(t) =

=

=

∑

∑

. Легко видеть,

t(t + 2i)

it

2ei

t

n!

2

t2ei(1 −

n=0

n=0

)

2

что коэффициент с-1 получится при умножении слагаемых при n = 0: Res[f(z),i] = c−1 = − 2ie .

Часто удается вычислять вычеты функций более простым способом. Пусть функция f(z)

имеет в т.	z0 полюс первого порядка. В этом случае разложение функции в ряд Лорана имеет
вид (§16):	f (z) = c−1 /(z − z0 ) + c0 + c1(z − z0 ) +…. Умножим это равенство на (z − z0)									и перейдем
к пределу при z →z0 . В результате получим: Res[f(z), z0] = c−1 = lim((z − z0 ) f (z)).										Так, в
									z→z0
последнем примере имеем Res[f(z),i] = lim			eiz		= −		i		.
			z + i				2e
		z→i
Для вычисления вычетов в полюсах более высокого порядка следует умножить функцию
на (z − z0 )m	(m − порядок полюса) и продифференцировать полученный ряд (m −1)									раз.
В этом случае имеем: Res[f(z), z0] =		1		lim		d m−1			[(z − z )m f (z)].
						dzm−1
		(m −1)! z→z0							0
										- 16 -