3.6 Теоремы разложения

Теоремы разложения применяются для нахождения оригинала f (t) , когда известно изображение F( p) . Каждая из этих теорем справедлива лишь при определенных частных условиях, накладываемых на изображение F( p) . Однако классы функций, удовлетворяющих

этим условиям, являются весьма широкими; вычисления же, связанные с применением теорем разложения, настолько просты, что использование этих теорем при решении многих конкретных задач оказывается весьма эффективным.

3.6.1.Первая теорема разложения

1

Предположим, что данное изображение F( p) может быть разложено в ряд по степеням

:

p

a

a

a

∞

a

F ( p) =

0 +

1

+... +

n

+... = ∑

n

,

(5.1)

2

p

n+1

p

n+1

p

> R .

p

p

n=0

сходящийся при

Если к каждому отдельному члену этого ряда применить операционное соотношение:

a

an

tn

(n

= 0,1,2,...) ,

n

pn+1

n!

то оригинал

f (t)

определяется формулой:

t

+ a2 t

2

+ a3 t

3

∞

t

n

f (t) = a0

+ a1

+... = ∑an

.

(5.2)

1!

n!

2!

3!

n=0

Пример. F( p) =

1

arctg

1

разлагается в ряд:

p

p

F( p) =

1

−

1

+

1

−...

+

(−1)n

+...

p2

3 p

4

5 p6

(2n

−1) p2n

По первой теореме разложения

f (t) =t −

t3

+

t5

−

t7

+... +(−1)n−1

1

+...

= ∫0t sinτ dτ .

3 3!

5 5!

7 7!

(2n −1)(2n −1)!

τ

3.6.2.Вторая теорема разложения

Для того, чтобы найти оригинал функции f ( p), изображение F( p) которой заданно

дробно-рациональной функцией
F ( p) =	R( p)	=		R( p)						,
	Q( p)		( p − p )k1	( p − p		)k2	...( p − p
					2			m	)km
			1

(степень числителя меньше степени знаменателя), разлагаем изображение F( p) на элементарные дроби, после чего находим оригинал каждой дроби.

Пример. F( p) =

p

f (t) =?

( p +1)2 ( p2 + 2 p + 2)

F( p) =

p

=

A

+

B

+

Cp + D

,

( p +1)2 ( p2 + 2 p + 2)

( p +1)2

p +1

p2 + 2 p + 2

A = −1, B =1, C = −1, D = 0 .

Получим: F( p) =

−1

+

1

−

( p +1) −1

.

( p +1)2

p +1

( p +1)2 +1

Запишем оригинал:

- 30 -

f (t) = −t e−t +e−t −e−t cost +e−t	sint = (−t +1−cost +sin t)e−t .
3.6.3. Третья теорема разложения		f ( p) служит функция комплексного
Если изображением F( p)	искомой функции
аргумента, регулярная справа от	прямой Re p =σ0 ,	а на этой прямой и слева от нее не

имеющая других особенностей, кроме конечного множества полюсов и существенно особых точек, то оригиналом для этой функции служит функция f (t) , определяемая по формуле

n

f (t) = ∑Res{ept F( p)}. (5.3)

k=1 p=pk

Пример. F( p) =	p2	f (t) =?
	( p −1)2 ( p2 +1)

p =1 - полюс 2-го порядка, p = ±i - полюсы 1-го порядка.

Res

e

pt

F( p)

= lim

e

pt

F( p) ( p −1)

2 ′

= lim

e

pt

}

p=p

{

}

p→1{

p→1

k

Res

e

pt

F( p)

= lim

ept p2

1

e

it

= −

.

( p −1)

2

4

p=i

p→i

( p +i)

pt

e

pt

p

2

1

−it

Resp=−i e

F( p)

= plim→−i

= −

4

e

.

( p −1)2 ( p −i)

f (t) =

t +1

e

t

1

(e

it

+e

−ti

)=

t +1

e

t

1

2

− 4

2

−

2 cost .

	p	2	′	= t +1	et .
	( p2 +1)
				2

3.7 Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентамиметодами операционного исчисления

Пусть требуется проинтегрировать уравнение

x(n) (t) + a1x(n−1) (t) + a2 x(n−2) (t) +... + an x(t) = f (t)

при начальных условиях:

t = 0 : x = x0 , x′ = x0′ ,..., x(n−1) = x0(n−1) ,

x0, x0′,..., x0(n−1) - заданные постоянные, а f (t) - заданная функция, изображаемая по Лапласу. Обозначим изображение искомого решения через X ( p): f (t) X ( p) .

По теореме дифференцирования оригинала (3.4.2), в силу заданных начальных условий имеем: x′(t) pX ( p) − x0

x′′(t) p2 X ( p) − px0 − x0′

	x	(n)	(t)	p	n	X ( p) − p	n−1	x0 − p	n−2 ′	(n−1)	.
									x0	−... − x0
Пусть, далее, f (t) F( p) .
	Подставляя в исходное уравнение вместо функций их изображения, получаем так
называемое изображающее уравнение:
	(pn + a1 pn−1 +... + an )X ( p) −Y ( p) = F( p)
(здесь	Y ( p) = pn−1x0 + pn−2 x0′ +…+ x(n−1) + a1 ( pn−2 x0 +…x0(n−2) ) +…+ an−1 x0 ) ),
т.е. –	алгебраическим относительно изображения искомого решения

- 31 -

X ( p) =	F ( p) +Y ( p)			.
	pn + a pn−1	+... + a
			n
	1

Для отыскания решения остается по полученному изображению найти его оригинал, пользуясь известными теоремами.

Рассмотрим несколько примеров решения задачи Коши методами операционного исчисления .

1.

′′′

′

′

′′

x

(t) + 4x (t) =1,

x(0) = x (0) = x (0) = 0

x(t)

X ( p)

′

x (t) pX ( p) −0

′′

p

2

X ( p)

− p 0 −0

x (t)

x

′′′

p

3

X ( p)

− p

2

0

− p

0 −0;

1

1

p .

(t)

3

1

3

1

p

X ( p) + 4 pX ( p) =

p

p

,

, X ( p) p

+ 4 p =

X ( p) =

1

=

1

−

1

.

p2 ( p +

4)

4 p2

4( p2 +

4)

1

1 t ,

1

1 sin 2t

x(t)

= 1 t

−

1 sin 2t

4 p2

4

4( p2 + 4) 8

4

8

2.

′′

′

′

=1.

x (t) −

4x (t)

+5x(t) = 0, x(0) = 0, x (0)

p2 X ( p) −1−4 pX ( p) +5X ( p) = 0.

.

X ( p) =

1

=

1

.

p2 −4 p +5

( p −2)2 +1

x(t) = e−2t sin t.

3.

′′

x(0)

′

x (t) + 4x(t) = 2sin 2t,

= −1, x (0) = 0.

Зная:

2sin 2t

4

и

x(t) X ( p) , получим

p2 + 4

p

p2 X ( p) + p + 4X ( p) =

4

.

Отсюда

X ( p) =

4

−

.

p2 + 4

( p2

+ 4)2

p2

+ 4

p

4

Оригиналы для изображений

и

известны, а именно:

p2 + 4

p2 + 4

p

cos 2t ,

4

2sin 2t

.Оригинал

4

найдем по теореме

p2 + 4

p2 + 4

( p2 +4)2

4

2

2

t

свертывания:

=

∫0 sin 2τ sin 2(t −τ)dτ =

( p2 + 4)2

p2 + 4

p2 + 4

1

t

1

1

t

=

2

∫0 [cos(4τ − 2t) − cos 2t]dτ =

2

4

sin(4τ − 2t) −τ cos 2t

0

=

=

1

1

sin 2t

−t cos 2t

−

1

=

1

sin 2t −

1

t cos 2t.

2

4

4

sin(−2t)

4

2

Окончательно:

x(t) = −cos2t + 14 sin 2t − 12 t cos2t = 14sin2t −t +22 cos2t

- 32 -

3.8 Изображение периодической функции

В заключение, приведём ещё один пример построения изображения.

Пусть требуется найти изображение периодической функции f (t) с периодом T = 2 (при

t > 0		f (t + 2 ) = f (t) ). (При t < 0 f (t) = 0 (3.3)).
	x			x

x = f (t)

x = f0 (t)

				t		t
0
	2	4	6	0	2
Введем вспомогательную функцию				f0 (t) , которая на полуотрезке [0,2		)	равна	f (t) ,
вне этого отрезка равна 0, т.е.

f (t), 0 ≤t <2

f0 (t) =

t (0,2 ]

.

0,

Ее изображением будет служить функция F0 ( p) , определяемая следующим образом:

.

f0 (t) F0 ( p) = ∫0+∞e−pt f0 (t)dt = ∫02 e−pt f0 (t)dt ,

Функцию f (t) , в свою очередь,

можно выразить через f0 (t)

следующим образом:

f (t) = h( ) f0 (t) + h(t − 2 ) f (t − 2

) , здесь f (t −2

) - та же периодическая функция, но с

запаздыванием на один период, равная нулю при t < 2 .

Переходя в последнем равенстве к

изображениям

и

используя

теорему

запаздывания

(3.5.2),

получаем:

F( p) = F ( p) + e−2 p F( p) , откуда:

F( p) =

F0 ( p)

.

1

0

−e−2 p

f (t)

Таким

образом,

изображение

периодической

функции

с периодом

T = 2 определяется следующими формулами:

2

F ( p)

f (t)

F( p) =

0

,

где

F0 ( p) = ∫e− pt f (t)dt .

1

−2 p

−e

0

Пример. В качестве примера найдем изображение функции sin t .

x

x = sint

t

0	π	2π

- 33 -

π

∫e− pt

sin t

dt

1

π

sin t

0

∫e

− pt

F( p)

=

=

d cost

=

1−e

−π p

1−e

−π p

0

a

1

π

π

π

− pt

π

∫cost e

− pt

= a e

− pt

+1+ p e

− pt

π

− p∫ e

− pt

sin tdt

= a −e

cost

0 +

dt

sin t

0

=

p

0

=0

0

0

−π p

− p

2

F( p);

= a e

+1

π p

1+ e

−π p

)

cth

2

Отсюда:

F

( p)

=

(

=

.

(1+ p2 )(1−e−π p )

1+ p2

Вопросы для самопроверки.

1. Для всякого ли оригинала f (t) существует изображение F ( p) ? Сформулировать требования к оригиналу.

2.Как изменится изображение, если аргумент оригинала умножить на а = 3 ?

3.Решить систему дифференциальных уравнений

	x′+ y = 0		; x(0)	= y(0) =1.
	y′−2x −2 y = 0				1
	4.	Найти оригинал изображения F( p) =				, применив третью теорему разложения
					( p2 +1)2

(пункт 3.6.3).

- 34 -

Л И Т Е Р А Т У Р А

Основная литература

1.Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. - М.: Наука, 1966.-331с.

2.Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление. Учебник для вузов (под ред. В.С.Зарубина и А.П. Крищенко). – М.: МГТУ, – 1996. (Серия «Математика в техническом университете», вып. XI).

3.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. Задача и упражнения. – М.: Наука, 1981. – 215с.

4.Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. Под ред.Ефимова А.В., Демидовича Б.П., т.2. – 2-е изд. - М.: Наука, 1986.-368с.

Дополнительная литература

1.Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы. – М.: Наука, 1971. – 632с.

2.Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.2. – М.: ГИФМЛ, 1961. – 628с.

3.Шостак Р.Я. Операционное исчисление. М.: Высшая школа. – 1972. - 252с.

Методические и учебные пособия

1.Ванько В.И., Галкин С.В., Морозова В.Д. Методические указания для самостоятельной работы студентов по разделам «Теория функций комплексного переменного» и «Операционное исчисление». – М.: МВТУ,1988.-28с.

2.Шостак Р.Я. Учебное пособие по операционному исчислению. – М.: МВТУ, 1967. – 100с.

- 35 -