f (t)

переменного p . Формула (3.8), позволяющая делать обратное преобразование, называется

формулой Меллина.

Легко доказать, что, если функция f (t) удовлетворяет условиям Дирихле и условиям

(п.3.6), то изображение F( p)

представляет собой функцию, регулярную при всех значениях

комплексного независимого переменного

p = c +ωt , удовлетворяющих неравенствам (3.6а),

то есть регулярную по всей полуплоскости, расположенной справа от прямой Re p = c0 .

ω

c +i∞

p = c +iω

c

ci0

ci1

0

c

c −i∞

Формула (3.8), в правой части которой стоит так называемый интеграл обращения, определяет преобразование обратное преобразованию Лапласа, то есть преобразование, при помощи которого функция F( p) комплексного переменного p преобразуется в функцию

вещественного независимого переменного t .

3.3 Основные определения операционного исчисления

Исходной формулой операционного исчисления является формула (3.7) :

∞

F( p) = ∫e− pt f (t)dt ,

0

определяющая преобразование Лапласа. Обычно, эту формулу, связывающую функцию F ( p) с функцией f(t), заменяют символической записью F( p) f (t) .

Определение. Функцию f (t) называют начальной функцией или оригиналом, а функция

F( p) , получаемую из f (t) при помощи преобразования Лапласа, называется изображением функции f (t) .

Изображения имеют только те функции, для которых имеет смысл интеграл Лапласа (1.9).

Примером функции, не имеющей изображения, может служить функция f (t) = 1t . Точно

так же не всякая функция комплексного переменного может рассматриваться как изображение некоторой функции вещественного переменного. Например, не имеет оригинала функция F( p) =tg p , так как полюсы этой функции распределяются по всей вещественной оси. То есть

на комплексной плоскости ( p) нет ни одной прямой, параллельной мнимой оси, справа от

которой эта функция была бы регулярной.					такие начальные функции f (t) , которые
Мы будем рассматривать только
удовлетворяют трем условиям:
1)		f (t) = 0 при t < 0 ,
2)		f (t)		< Mec0t при t > 0, где M и c	- некоторые положительные постоянные числа,
				0	f (t) удовлетворяет условиям Дирихле (п.3.1).
3)		На любом конечном отрезке [0,T ]

Кроме того, всегда будем считать, что в формуле (1.9) Re p = C0 ≥ c1 > c0 ;

- 21 -

При этих условиях интеграл Лапласа, определяющий функцию F( p) , равномерно сходиться во всей полуплоскости, ограниченной прямой Re p =C0 . Функции f (t) , удовлетворяющие всем

этим условиям, будем называть изображаемыми по Лапласу.

Приведём два примера непосредственного вычисления изображений для функций, играющих очень важную роль в операционном исчислении.

1. Функция, равная нулю при t < 0 и равная единице при t > 0; эта функция называется

единичной функцией и обозначается h(t) :

	0 при	t < 0
	h(t) =		.
		t > 0		f (t)
	1 при

h(t)

1

t

0

Изображение H ( p) единичной функции h(t) легко определяется по формуле (2.1):

∞

∞

1

− pt

∞

1

H ( p) = ∫e

− pt

h(t)dt = ∫e

− pt

dt = −

e

=

,

p

p

0

0

1

0

1

Следовательно, H ( p) =

при Re p > 0 , то есть : h(t)

.

p

p

2. Экспоненциальная функция, равная нулю при t < 0 и равная eαt при t > 0:

e(t) =

0 при

t < 0

. В дальнейшем будем писать просто

eαt .

αt

при

t > 0

e

∞

∞

1

(α−p)t

∞

1

E( p) = ∫e

− pt αt

∫e

(α−p)t

e

dt =

dt =

e

=

; Re p

>Reα.

α − p

p −α

0

1

0

0

αt

Отсюда e

;

Re p >Reα.

p −α

3.4 Основные свойства изображений иоригиналов.

3.4.1Линейность.

1)Умножение начальной функции (оригинала) на постоянную величину влечет за собой умножение на ту же постоянную изображения:

Пусть F( p) f (t) . В этом случае c f (t) c F( p) ,

Например, f (t) = 2 F( p) = 2p , т.к. f (t) = 2h(t) .

2)Изображение алгебраической суммы конечного числа начальных функций равно алгебраической сумме изображений этих функций:

-22 -

n	n
∑ fk (t)	∑Fk ( p) , где fk (t) Fk ( p), (k =1,2,...,n) .
k =1	k =1

Два рассмотренных свойства называются линейными и легко объединяются:

Изображение линейной комбинации оригиналов равно той же линейной комбинации соответствующих изображений:

n	n
∑ck fk (t)	∑ck Fk ( p) , где fk (t) Fk ( p) и ck = const, (k =1,2,..., n) .
k =1	k =1

Доказательство этих свойств основано на применении простейших теорем об определенном интеграле.

αt

−αt

Пример. chαt =

e + e

1

1

+

1

=

p

,Re p > Reα.

2

p +

p

2

−

α

2

2

p −α

α

p

Отсюда сразу получаем: cosωt =ch(iωt)

p

=

, Re p >Imω.

p2 −(iω)2

p2 +ω2

Замечание. При использовании операционного исчисления обычно обращаются к каталогам, содержащим некоторое число оригиналов и их изображений, определенных заранее (вывод некоторых из них будет дан ниже). Ясно, что такие каталоги могут быть использованы и для практического решения обратной задачи, состоящей в определении начальной функции по данному изображению этой функции.

3.4.2Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения

Вдальнейшем при формулировке и доказательстве теорем операционного исчисления мы всегда будем считать, что все рассматриваемые начальные функции:

1) изображаемы по Лапласу;

2)дифференцируемы необходимое количество раз;

3)все производные изображаемы по Лапласу.

Оригинал будем обозначать малыми буквами, а изображения – соответствующими большими буквами (например, f (t) F( p) , ϕ(t) Φ( p) и т.д.).

Дифференцирование оригинала

Допустим, что оригинал

f (t)

− дифференцируемая функция и его производная f

′

(t)

также является оригиналом, причем

f (t)

< Me

c0t

,

′

< M1e

c0′t

при t > 0.

f (t)

Пусть

f (t)

F( p) ,

′

(t)

F1( p) . Найдем

связь между F( p)

и F1( p) .

По

f

+∞

определению изображения имеем:

F1( p) = ∫e−pt f ′(t)dt .

0

Выберем здесь

p так, чтобы одновременно выполнялись неравенства

Re( p) > c0 , Re( p) > c0′ . Выполняя

в правой

части

интегрирование по

частям, причем

u = e

− pt

, dv =

′

f

(t)dt (v = f (t)) , находим

+∞0

+∞

+∞

F1( p) = f (t)e− pt

+ p ∫ e− pt

f (t)dt = − f (0) + ∫ e− pt f (t)dt = − f (0) + pF( p) .

0

0

Таким образом, из соотношения f (t) F( p) следует:

′	(2.2)	.
f (t) pF ( p) − f (0)

- 23 -

Предполагая, что оригинал

f (t)

дифференцируем n раз и что

f (n) (t)

также является

оригиналом, методом индукции из формулы (2.2) получим следующий результат:

Из соотношения f (t)

F( p) следует соотношение

f

(n)

( p)

p

n

F( p) −{p

n−1

f (0)

+ p

n−2

′

+... + f

(n−1)

(0)}.

(2.3)

f (0)

Пример.

Изображение

функции

f (t) =shαt

можно

получить

следующим

1

′

1

p

α

образом:

shαt =

(chαt)

p

−1 =

;

α

α

p

2

−α

2

p

2

−α

2

Интегрирование оригинала

Примем без доказательства, что если f (t) может служить оригиналом, то оригиналом

t

некоторого изображения будет и функция ϕ(t) = ∫ f (τ)dτ .

0

t

Найдем теперь изображение ϕ(t) = ∫ f (τ)dτ .

0

Так как f (t) =ϕ′(t) , то полагая ϕ(t) Φ( p) , по формуле (2.2) находим связь между

Φ( p) и F( p) :

F( p) = pΦ( p) −ϕ(0) = pΦ( p) (ϕ(0) = 0) ,

откуда Φ( p) = 1p F( p). Таким образом, из соотношения f (t) F( p) следует

t

1

∫ f (τ)dτ

F( p) .

(2.4)

0

p

1

t

1

1

1

Примеры. 1. f (t) = h(t)

F( p) =

, следовательно −

t = ∫dτ

=

.

p

p

p

2

0

p

По индукции легко получить: tn

n!

, n Ν, Re p > 0.

pn+1

t

ω

p

ω

2. sinωt =ω∫cos

ωt dt

=

; Re p > Reω.

p

p

2

ω

2

p

2

2

0

+

+ω

Дифференцирование изображения

В теории функций комплексного переменного доказывается, что несобственный интеграл

+∞

ϕ(z) = ∫ f (z,t)dt , в котором f (z,t) есть регулярная функция комплексного переменного z

a

в замкнутой области D и непрерывная функция вещественного переменного t при t > a ,

- 24 -

+∞	∂f (z,t) dt , если интеграл этот
можно дифференцировать под знаком интеграла: ϕ′(z) = ∫
a	∂z

сходится равномерно относительно z . При этом теорема остается верной и для несобственного интеграла, в котором подынтегральная функция f (z,t) становится неограниченной.

Говоря о свойствах изображения, было установлено, что изображение является регулярной функцией комплексного переменного p в полуплоскости Re > c > c1 > c0 и что в этой полуплоскости дифференцирование изображения можно выполнять под знаком интеграла

+∞

Лапласа. Поэтому из равенства F( p) = ∫ e− pt

f (t)dt следует, что

0

d nF( p)

+∞

= ∫ e

− pt

t

n

(−t)

n

f (t)dt .

в

правой

части

равенства стоит

изображение функции

dpn

0

(−1)n tn f (t) . Таким образом, из соотношения

f (t)

F( p) следует, что

(−1)n tn f (t)

d n F( p)

(2.5)

dpn

αt

1

′

1

αt

1

Примеры. 1. −te

= −

te

, Re p > Re

α .

( p

−α)

2

( p −α)

2

p −α

2. −t sinωt

α

′

= −

2 pα

t sinαt

2αt

,Re p > Reα

p

2

+α

2

( p

2

+α

2

)

2

( p

2

+α

2

)

2

Интегрирование изображения

Пусть функция

f (t)

является изображаемой по Лапласу, т.е. имеет место соотношение:

t

f (t)

+∞

f (t)

∫e−pt

dt .

t

0

t

− pt

f (t)

+∞

{f (t)∫p∞ e−qt dq}dt

Заменим функцию e t

интегралом ∫p∞e−qt dq :

∫

t

0

и изменим в правой части порядок интегрирования:

f (t)	∞ +∞			−qt		∞
	∫p		∫ e			= ∫p F(q)dq ,
					f (t) dt dq
t
		0

+∞

где F(q) = ∫ e−qt f (t) dt f (t) .

0

Таким образом, если F( p) f (t) и функция f t(t) изображаема по Лапласу, то

- 25 -