Пример. Найти вычет функции			f (z) =			cos z		в т. z = −1.
						z(z +1)2
Решение. Res[f(z), −1] =	1	lim	d	[cos z		] = lim	−z sin z + cos z		= cos1 −sin1 =	2 cos(1 +	π )
								z2
	1! z→ −1 dz			z		z→ −1					4

2.10 Применение вычетов квычислению интегралов. (Основная теорема теориивычетов)

Из определения предыдущего параграфа непосредственно следует, что интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру, содержащему внутри себя единственную

особую точку выражается через вычет в этой точке: ∫ f (ζ )dζ = 2πi Res[ f (z), z0 ]. Эта

C

формула легко обобщается следующей теоремой.

Теорема (Основная теорема теории вычетов). Пусть функция f(z) является аналитической всюду в ограниченной замкнутой области G с границей Г за исключением конечного числа изолированных особых точек zk (k = 1,2,…,n), лежащих внутри области. Тогда

n

∫ f (ζ )dζ = 2πi ∑Res[f (z), zk ].

Г+

k =1

Доказательство. Выделим каждую особую точку

zk

замкнутым контуром

γk

, лежащим в

области G и содержащим внутри себя эту точку (рис.4).

Г

Функция

f(z)

является

аналитической

в

области,

ограниченной

контурами

Г и

γ1,…, γn. По следствию теорем

п. 2.2

верна формула

∫ f (z)dz =

n

Отсюда

и

из

предыдущего параграфа следует

1

∑∫ f (z)dz.

γ

.

. z1

Г

k =1 γk

γ2

утверждение теоремы.

Рис.4

Данная

формула часто используется для вычисления интегралов от

комплексных функций.

Пример.

Вычислить интеграл

sin zdz

, где С − окружность

z −1

= 4.

С∫ z2 +1

Решение.

лежащие внутри окружности С. Оба

Функция имеет два полюса первого порядка,

вычета легко определяются (п.2.10). Итак: C∫

sin z

dz = 2πi (Res(f (z), i) + Res( f (z), −i)) =

z2 +1

= 2πi sin z

+ sin z

= 2πi sin i = 2πi sh1 .

z + i

z=i

z − i

z=−i

i

2.11 Вычет функции в бесконечно удаленной особой точке.

Определение. Вычетом аналитической функции

f(z)

в точке

z

=

∞

называется значение

интеграла

Res[ f (z), ∞] =

1

∫

f (ζ )dζ = −

1

∫

f (ζ )dζ , где

С – произвольный замкнутый

2πi

2πi

C

−

C

+

контур, вне которого f(z) – аналитическая и не имеет особых точек, отличных от ∞. Фактически, контур С − является границей окрестности бесконечно удаленной точки, при обходе которой область остается слева. В силу определения коэффициентов ряда Лорана

получаем: Res[ f (z), ∞] = −

1

∫+

f (ζ )dζ = −c−1.

2πi

C

Пример. Вычислить Res e

iz

3 ,∞ .

z

iz

1

1 + iz −

z

2

iz

3

+… ; c−1

1

Решение. e3

=

−

= −

;Res[ f ,∞] = −c−1 =

1 .

3

2

z

z

2

3!

2

Из полученных формул следует утверждение:

- 17 -

Теорема. Пусть функция f(z) регулярна на расширенной комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек z1,…,zn−1, zn = ∞. Тогда

n

∑Res[f (z), zk ] = 0.

k =1

Доказательство. Пусть контур С содержит внутри себя все конечные особые точки.

В силу

теоремы

из

п.2.11

и

последней

полученной

формулы

имеем:

1

n−1

f (ζ )dζ =

∑Res[f (z), zk ] = −Res[f (z), ∞] . Из второй части равенства следует утверждение

2πi

C∫+

k=1

теоремы.

1

1

1

Пример. Рассмотрим последний пример: Res[f,0] =

iz

′′

iz

2

(e

)

z=0 = − 2 e

z=0 = − 2 = − Res[f,∞],

т.е. сумма всех вычетов расширенной комплексной плоскости равна нулю. Выведенная формула может быть записана следующим образом:

n−1

Res[f (z), ∞] = −∑Res[f (z), zk ] .

k=1

Втакой форме она применяется как при вычислении вычета в бесконечно удаленной точке, так и справа налево при вычислении интегралов в том случае, когда внутри контура С находится несколько полюсов высокого порядка, а вычет в бесконечно удаленной точке может быть найден достаточно просто непосредственно.

Замечание. Из последней формулы следует, что вычет функции, имеющей в бесконечно удаленной точке устранимую особенность, может быть отличным от нуля.

Вопросы для самопроверки.

1. При каком условии ∫ f (z)dz не зависит от пути интегрирования?

	C
	2. Применима ли формула Коши для вычисления интеграла ∫	ez dz	, где L :		z −2		=	3 .
		z(z −4)
	L							2

3.Какова связь между нулями и полюсами функции?

4.Чему равна сумма вычетов функции во всех конечных особых точках?

3.Операционноеисчисление.

Вэтом разделе рассматривается одно из основных приложений ТФКП - решение дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и с частными производными).

3.1 Интеграл Фурье

Напомним основные результаты разложения функций в тригонометрические ряды Фурье. Пусть в промежутке (−l,l) функция f (t) удовлетворяет условиям Дирихле, а

именно:

а) ограничена на этом отрезке;

б) кусочно-непрерывна на нем (имеет конечное число точек разрыва первого рода); в) кусочно-монотонная (в частности, имеет лишь конечное число экстремумов).

Из теории тригонометрических рядов следует, что ряд

S (t) =	a		∞		πnt	+ bn sin	πnt		(3.1)
		0	+ ∑ an cos		l		l
	2		n=1

представляет собой периодическую функцию с периодом 2l и сходится к функции f(t) на интервале (−l, l) . По теореме Дирихле:

1) в точках непрерывности сумма ряда равна значению функции: S(t) = f (t) ;

- 18 -

2) в точках

разрыва t1

сумма

ряда

S(t ) =

f (t1 −0) + f (t1 +0)

(включая концы

1

2

интервала, если f (−l) ≠ f (l) ).

Коэффициенты ряда (1.1) определяются по формулам Эйлера-Фурье:

an

1

l

f (τ ) cos

π nτ

=

−∫l

dτ

l

l

(n = 0,1, 2,… )

(3.2)

1

l

π nτ

bn

=

f (τ ) sin

dτ

l

∫

l

−l

Мы будем рассматривать полученный ряд Фурье только на интервале

(−l,l) . В этом случае

a

∞

πnt

πnt

формулу (3.1)

можно написать в виде:

f (t) =

0

+∑ an cos

+bn sin

(3,

′

2

n=1

l

l

Легко

видеть, что коэффициенты

an

и

bn

удовлетворяют

условиям:

a−n = an ,

b−n = −bn (n = 0,1,2,...)

.

Поэтому

формула

(3,1 )

может

быть

записана в

′

виде f (t) =

1

+∞

πnt

+ bn sin

πnt

или, с учетом формул (3.2),

∑ an cos

l

l

2 n=−∞

1

+∞

l

πnt

πnτ

πnt

πnτ

f (t) =

∑

∫ f (τ) cos

cos

+sin

sin

dτ ,

2l n=−∞ −l

l

l

l

l

1

+∞

l

πn(t −τ) dτ

откуда

f (t) =

∑ ∫ f (τ)cos

2l n=−∞ −l

l

Если ввести обозначения:

ωn = πn ,

ωn = πn

− π(n −1) = π

l

и F(ωn ) = ∫ f (τ)cos[ωn (t −τ)]dτ ,

l

l

l

l

−l

1

+∞

то последняя формула будет иметь вид:

f

(t) =

∑ F(ωn ) ωn .

2π n=−∞

Пусть функция

f (t) абсолютно интегрируема на промежутке (−∞,+∞) ,

+∞

∫

f (t)

dt =Q

( Q − конечное число),

−∞

Можно доказать, что при l → +∞ равенство (3.3) перейдёт в равенство:

1

∞

1

+∞

+∞

f (t) =

∫ F (ω)dω , или

f (t) =

∫ dω ∫ f (τ)cos[ω(t −τ)]dτ .

2π

2π

−∞

−∞

−∞

(3.3)

т.е.

(3.4)

Интеграл, стоящий в правой части равенства (3.4), называется интегралом Фурье.

			1	+∞	+∞	f (τ)sin[ω(t −τ)]dτ = 0
	Замечая, далее, что			∫ dω ∫
			2π
				−∞	−∞
					+∞	f (τ)sin[ω(t −τ)]dτ по аргументу ω , преобразуем
	Пользуясь нечетностью функции				∫
					−∞
			1	+∞	+∞	f (τ){cos[ω(t −τ)]+isin[ω(t −τ)]}dτ , откуда
	формулу (3.4): f (t) + 0i =			∫ dω ∫
			2π
				−∞	−∞

- 19 -

	1	+∞	+∞	ω(t−τ )i
f (t) =		∫ dω ∫ f (τ)e			dτ .	(3.5)
	2π
		−∞	−∞

Последний интеграл называется интегралом Фурье в комплексной форме.

3.2 Преобразование Лапласа и формула обращения

Докажем теперь, что если функция f (t) не интегрируема абсолютно но удовлетворяет

c0t

условиям:

f (t)

< Me

при t > 0 ,

(3.6)

где M и c0

f (t) = 0

при t < 0

- некоторые постоянные положительные числа, то при условии

ϕ(t) = e−ct

c ≥ c1 > c0

(3.6а)

функция

f (t)

представляется интегралом Фурье:

1

+∞

+∞

ϕ(t) =

∫ dω ∫ϕ(τ)eω(t−τ )idτ .

(3.6в)

2π

−∞

0

В самом деле, если условия (3.6) и (3.6а) выполняются, то

+∞

+∞

+∞

+∞

∫

ϕ(t)

dt = ∫

e−ct f (t)

dt = ∫ e−ct

f (t)

dt < ∫ e−ct Mec0t dt =

0

+∞

0

0

0

M

+∞

M

M

= M ∫ e

−(c−c

)t

dt =

e

−(c−c )t

=

<

.

0

0

−(c − c0 )

0

c − c0

c1

− c0

0

Т.е., в интервале (0,+∞) функция ϕ(t)

оказывается абсолютно интегрируемой, что и

доказывает возможность представления ее в этом интервале интегралом Фурье (3.6в).

Заменяя ϕ(t) в равенстве (3.6в) на

e−ct f (t) :

−ct

1

∞

∞

−cτ

ω(t−τ )i

ct

e

f (t)

=

∫ dω∫ f (τ)e

e

dτ

и умножая обе части этого равенства на

e

,

2π

−∞

0

∞

∞

1

получаем:

f (t) =

∫ dω e(c+ωi)t ∫ f (τ)e−(c+iω)τ dτ . Сделаем замену внешней переменной:

2π

−∞

0

p = c +ω i;

dp = idω; ω = −∞, p = c −i∞; ω = ∞, p = c + i∞ p = c −i∞. Последняя формула

для

f (t) примет вид:

1

c+i∞

∞

f

(t) =

∫ e(c+ωi)t dp∫e− pτ f (τ)dτ ,

2πi

c

−i∞

0

это преобразованный интеграл Фурье.

Если положить:

∞

F( p) = ∫e− pt

f (t)dt ,

(3.7)

то

0

c+i∞

1

f (t) =

∫

ept F( p)dp .

(3.8)

2πi

c−i∞

Формула (3.7), в правой части которой стоит так называемый интеграл Лапласа,

определяет

преобразование

Лапласа, при помощи которого функция

f (t) вещественного

независимого

переменного

t преобразуется

в

функцию

F( p) комплексного независимого

- 20 -