Несобственные интегралы от положительных (неотрицательных) функций.

Мы рассмотрим свойства положительных (неотрицательных) функций, но по свойству однородности мы всегда можем от отрицательной (неположительной) функции перейти к положительной (неотрицательной), исследовать ее интеграл на сходимость, а потом уже перейти к тому, что нам нужно.

Пусть задана функция f, такая что имеет единственную особенность в точке b (конечной или бесконечной).

Пусть на. Рассмотрим. Эта функция неубывающая:.

Т.е. сходитсяограничена на.

Теорема 1 (признак сравнения для несобственных интегралов):

Пусть заданы натакие, что соответствующие интегралы имеют единственную особенность в точкеb, и при этом , тогда

сходится сходится

расходится расходится

Доказательство:

Пусть сходится, тогда

Т.е. получили, что неубывающая, ограниченная сверхупредел:

Кроме того, т.к. то, переходя к пределам, получим:

Т.е. и для несобственных интегралов верна теорема для предельного перехода под знаком интеграла.

Мы доказали, что если больший сходится, то и меньший сходится. Докажем, что, если меньший расходится, то и больший тоже расходится.

Пусть меньший расходится, тогда, если бы больший сходился, то и меньший бы сходился, противоречие.

(здесь мы основывались на том, что ).

Теорема доказана.

Признаки сравнения для несобственных интегралов.

Замечание: в признаке сравнения говорится

выполняется неравенство. Признак остается верным, если это неравенство выполняется, мы говорили о том, даже доказывали, чтосходятся и расходятся одновременно, т.к. условие Коши для них выглядит одинаково. То есть достаточно, чтобы неравенство выполнялось в какой-то окрестности точкиb.

Теорема 2. Предельный признак сравнения.

Если и, то несобственныеис единственной особенностью в точкеb сходятся и расходятся одновременно.

Доказательство:

По определению предела:

Возьмем , естественно, чтоA>0, тогда

.

Если - сходится, то- тоже сходится, по признаку сравнения сходится и.

Если сходится - сходится, тогда- сходится. Расходимость аналогично. Теорема доказана.

Пример 1 (на предельный признак сравнения).

, тогда исходный интеграл тоже расходится.

Пример 2 (на первый признак сравнения). , то есть интеграл сходится. Если бы степеньбыла бы, например, 1.5, то интеграл бы не брался. Вот для такого примера было бы интересно применить этот признак сравнения.

Абсолютная сходимость интегралов.

Определение 1. Рассмотрим с единственной особенностью в точке, конечной или бесконечной, тогда если, у него, естественно, тоже единственная особенность в точке, сходящийся, тоназывается абсолютно сходящимся.

Теорема: если интеграл абсолютно сходится, то он сходится.

Доказательство:

Нам дано, чтосходится.

По критерию Коши Это уже наш обычный определенный интеграл Римана. Для него есть неравенство:

критерий Коши выполняется и для , то есть, по критерию Коши уже для нашего интеграла, он сходящийся.

Кроме того, , тогда, переходя к пределу при. Сразу мы такого сделать не могли, так как мы не знаем, существует ли этот предел слева или нет. Из того, что интеграл ограничен, существование предела еще не следует. Функция может быть не монотонна, поэтому мы и доказали сначала существование этого интеграла, а потом уже неравенство.

По признаку сравнения мы тоже так сделать не могли, так как он только для знакопостоянных функций.

Определение 2. Если- сходящийся, а- расходящийся, тоназывается условно сходящимся.

Когда мы исследуем интеграл от не знакопостоянной функции, мы должны сначала исследовать его сначала на абсолютную сходимость, если получится, что он абсолютно расходится, то надо исследовать на условную сходимость. Если он сразу абсолютно сходится, то все хорошо.

Пример.

Исследуем на абсолютную сходимость интеграл ;

- сходящийся, значит и исходный интеграл сходящийся, то есть интеграл сходится абсолютно. Признаком сравнения мы сразу не имеем права пользоваться, потому, что косинус у нас на этом промежутке может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому мы исследуем интеграл на абсолютную сходимость.