Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

4. Решение	сферического		треугольника		А 1Р 1В	1	производят		по	двум
сторонам (90° -	и1) и а и по углу между ними А 1 . 2 •					Применяя формулу Не­
пера для наших обозначений, получаем:
			А~. 1 +ro	sin	90° -U1 +cr				)
		tg			2			А
			2	-			tg~
				sin	90° -и1 -а			2
					2
			л;_ i -ro	cos	90°-ul +а
		tg		-	2		tg ~		}. (29.42)
			2	cos	90° -U1-(j			2
					2				1
			л;_ i-ro
	90°-Ul +а sin						cos	А~. i-co
tg 90°-U2 =tg			2	=tg 90°-U1-(j				2
2	2	л;_ 1+rо			2			л;_ 1 +ro
		sin	2				cos	2
Для вычисления приведенной широты и2					второй точки и обратного					ази­

мута можно применять формулы из решения сферического прямоугольного

треугольника В 1Р 1С, аналогичные формулам (29.15) и (29.16):

		sin и2 = cos msin (М +а) }
		sin А 2• 1 = sin т sec и2	(29.43)
		cos U2COS л;. 1 = cos m cos (М+а)
и из треугольника		А 1Р 1В 1 для разности долгот	ro
		cos и2 sin ro = sin а sin А1• 2	)
		cos u1 sinro =sinasinA;. 1	(29.44)
			·
5.	Вычисление разности долготы l по вычисленному значению сфери­
ческой долготы ro по формуле (29.39).
6.	Переход от приведенной широты и2 к геодезической В 2 по формуле (29.41)
	Обратная геодезическая		задача
1.	Вычисление	приведенных широт и1 и и2	по геодезическим В1 и В 2

согласно (29.41).

2. Вычисление разности сферических долгот ro по разности геодезических

долгот l. Так как величины т, М, а нам неизвестны, то применяется способ

последовательных приближений следующим образом.

Напишем аналогии Непера из треугольника А 1Р 1В 1 :

л;_	1 +А1.		cos	и2+и1
		2	-	2	tg ; 1
tg	2			U2-U1
			sin
				2	(29.45)
			.	и2+ui
А~. 1-А1.		2	sin ----
			-	2	(1)
tg	2			U2-U1	tg 2
			cos
				2	J

130

Порлдон 1

действий

1

6

8

10

12

13

14

2

7

9

11

15

16

17

18

3

4

5

28

29

21

22

20

23

24

25

26

27

30

31

19

32

33

36

37

38

39

40

41

42

43

46

47

34

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

9*

		Таблиц а 10
Формулы		Вычисления
		1
В1		49° 00' 00,009"
tgB1	В1	1,15036851
-0,003352330 tg		-0,00385642
tgu1		1,14651209
U1		48° 54' 16,985"
sin и1		0,75361752
COS U1		0,65731319
В2		58° 20" 52,798"
tgB 2		1,62217610
-0,003352330 tg	В2	0,00543807
tgu2		1,61673803
U2		58° 15' 43,166"
sin и2		0,85046233
COS U2		0,52603596
COS U1 • COS U2		0,34577038
L2		54° 04' 15,596"
L1		1344015,608
l		-803600,012
Лlо		-422,890
ffio		-804022,902
sin l		-0,9866
cos l		0,163326
sin и~· sjn и2		0,640923
COS U1 • COS U2 • COS l		0,056473
cos cr0		0,697396
О'о		45° 46' 53,6"
sjn cr0		0,7167
sinm0		-0,4760
sin ro0		-0,98677953
cos ro0		0,16206836
sin и~· sin и2		0,64092331
COS U1 · COS U2 • COS Фо		0,05603844
cos 0'1		0,69696175
sin cr1		0,717107
sinm		-0.475799
COS U1 • tgu2		1,06270323
-sin и1 · cos Фо		-0,12213756
ctg л; ~ [(38)+ (39)) : (30)		-0,95316699
s1n и2 · cos ro0		0,13783304
-COS U2 • tg Ut		-0,60310659
ctg л; = [(41)+ (42)) : (30)		0,47150710
ctgM		0,601784
м		58° 57' 40,1"
0'1		454858,499
2м+сr1		1634418,7
4M+2cr1		32728
20'1		9138
cos (2М+cr1)		-0,959994
sin 2cr1		0,9996
cos (4M+2cr1)		0,8431
sin2т		0,22638
а		0,0324053860
~		268,119
у		0,044

131

			П р о д о л ж е н и е т а б JI. 10
llорндок	1	Формулы	Вычисления
действий
			1
58		а1	0,003350153
59		}1.	0,449
60		а1 · cr1 • SШ m	-262,912"
61		~1 sin т · sin cr1 · cos (2М+cr1)	0,147
62		лz	-262,765
63		dl = (62)- (28)	0,125
44		АО	313° 37' 35,133"
		1
64		ЛА 1	-0,039
65		А1	313 37 35,094
45		АО	64 ° 45' 20,842"
		2
66		ЛА2	0,079
67		А2	644520,921
35		"	164 938,499"
		cr i
68		- В1 sin cr1 cos (2М+cr1)	184,578
69		-у sin 2cr1cos (4М+2cr1)	-0,037
70		dl · sin т	-0,059
71		z = (35)+ (68)--f--(69)+ (70)	165122,981
72		s = z: ~	5095541,2м
Положив ro	= l,	найдем в первом приближении прямой и обратный ази­

муты и далее (также в первом приближении) т, М, а. Второе приближение

для ro		получим, применив	формулу (29.39); затем со	вторым приближением
ro	повторяем вычисления		для получения следующего	приближения т, М,
а,	ro, А	1 2 и А 2 1 до тех пор, пока не получим окончательных значений.
	3.	Вь1числение длины геодезической линии s по формуле (29.30), используя

окончательно вычисленные величины М, т и а.

Способ Бесселя - основной для точного решения главной геодезической задачи на большие расстояния. В этом изложении достаточно подробно были приведены теоретические основы метода без освещения и изложения некоторых

деталей, не имеющих принципиального характера, которые могут иметь из­

вестное значение при практических вычислениях. Так, например, не показаны

возможные	структуры и схемы таблиц для вычисления коэффициентов а,
~, у, а 1 , ~ 1 ;	не указаны пути достижения быстрейшей сходимости вычислений

при применении способа последовательных приближений для нахождения

неизвестных; не приводятся, наконец, примеры точных вычислений на решение прямой и обратной геодезических задач. Эти подробности читатель найдет

в специальных курсах по сфероидической геодезии {55, стр. 89-1121 и [2,

стр. 131-1351.

Как указывалось выше, решение обратной геодезической задачи на боль­ шие расстояния имеет наибольшее применение в прикладных целях; при этом требования к точности вычислений зачастую невысокие.

В 1960 г. было опубликовано <<Руководство по вычислению азимута и длины геодезической линии на поверхности эллипсоида Красовскога>}. В этом <<Ру­

ководстве>} приведены формулы и таблицы коэффициентов а, ~' у, а. 1, ~ 1 . Коэф­

фициенты вычислены и приведены как функция sin2 т.

132

Рекомендуемые формулы и порядок вычислений несколько иные, чем:

указаны выше.

В <<Руководстве>> приведены формулы Бесселя для решения обратной геоде­

зической задачи в двух видах, в зависимости от расстояний между заданными

пунктами: от 400 до 7000 км и от 3000 до 17 ООО к:м.

Приведем формулы, рекомендуемые для решения обратной геодезической

задачи для расстояний от 3000 до					17 ООО	км.
l =--::с L2 - L 1 ;				tg и= tg В- 0,003352330 tg В
cos а0 =sin u1 sin и2 + cos и1 cos и2 cos l;							27° <а0<155°
	.				si n l
	Slll m 0 = -.-- COS U1 COS U2
				Slll <Jo		ш0 = l +Лl0
	Лl0 = О,003351а~ sin m 0 ;
cos а1 = sin и1 sin и2+cos и1 cos и2 cos ш0
	ctg А	О		cos U1 tg U2 sin U1 cos Wo
		1	= ---'---''----				,::---
					sin w0
	ctg А	О		sin U2 cos ffio-COS U2 tg И1
		2	= ----------
					sin	Wo				1.(29.46}
.	sin w0						sin т ctg А~
s1n m=-.-- cos и1 cos и2;						ctgM= -- . ---
	s1n а1						s1n и1
Лl = а1а'~ sin т +~1 sin т sin а1 cos (2М+ cr1)
				dl =Лl-Лl0
ЛА	= sin т dl			ct	Ао. ЛА = si~ т dl ct			g	Ао
1	sina1			g	2,	2	sш 0'1		1

А1 =А~ +ЛА 1; А2 =А~+ЛА2

z = а'~ - ~ sin а1 cos (2М+ cr1) - у sin 2а1 cos (4М+ 2cr1) + dl sin т

z s= -

a

Приведем пример на решение обратной геодезической задачи по форму­

Jtам: (29.46) (табл. 10).

Последний член dl sin т введен как поправка за неточность а1 , вследствие

вычисления этой величины при помощи ш 0 , отличающейся от ш на величину dl.

Действительно, из треугольника А 1Р1В1 имеем

cos а-= sin и1 sin и2+ cos и1 cos и2 cos ш.

Полагая переменными cr и ш, после дифференцирования получаем

da = cos и_1 cos и:> sin ш dш = sin т dl.	(29.47)
s1n а

u Вычисления по формулам (29.46) обеспечивают получение азимутов с ошиб­

кои 0,005" и расстояния с ошибкой 0,2 м.

133

Для более приближенных вычислений - с ошибкой в s до ;;О-100 Jм и в азимутах до 2" - приведенные формулы можно применить в более простом

виде:

l=L2 - L1

tg и= V1	е2 tg В,.(ИJIИ по формулам				(29.41)1
cos аO = sj n и1		sin U2 +cos и1cos и2 cos l
	.	sin l
	SJll то=	-.-- COS U 1 COS U2
		Slll О'о
	Лl~ = а1а~ sin т0
	ro 0 = l +Лl0					(29.48)
ctg А1_2 = tg и2 cos и1 cosec ro 0 -sin и1 ctg ro 0
ctg Л2.	1 = sin U2 ctg ffio -tg и1 cos u2 cosec ro 0
	ctg М = sin т~ ctg А1• 2
	-			s1n и1
s = - - (а;-В sin а			0	cos (2М+а)+Лl~ sin т		]
а					0
1

при вычислениях по формулам (29.48) следует принимать следующие числовые

значения величин (для эллипсоида Красовского):

	Vt - е2 = о,996648,
	а1= 0,003351
	_!_ = 30,87081-0,05185 sin~ т,
	а
	~ == 346,5" cos1 m.
	Объяснение к пример-у
Четверти круга,	в которых лежат азимуты А~.2 и А;.1 определяют по
знакам ctg А~ (ctg А;) и sin ro 0 , пользуясь табл.			11.	Таблица 11
	1	11	111	IV
Фующии	табличное	180 °-таб-	180 °+таб-	360 °-тali-
	значение	личное зна-	личное зна-	личное зна-
		чение	чение	чение

ctg А1_ 2 или ctg А 2_ 1 sin roo

+	-	+	-
+	+	-	-

1

При определении четверти круга, в которой находится азимут А;.1, сле­

дует предварительно знак sin ro O изменить на обратный.

Дуга М лежит в первой четверти круга, если ctg М - число положитель­

ное, и во второй четверти, если ctg М - число отрицательное.

Значения а, ~' у, а1 и ~1 выбирают из табл. 12 по аргументу sin! т.

134

	'
	.								Таблиц а 12
	т;~~ . '
	stn• m	а	д	~	д	'\'	д	<Х1	д	~1	д
	0,0	0,03239 30760	54357	346,314	34,527	0,073	14	0,00334 9518	281	0,580	58
	0,1	0,03239 85117		311,787		0,059		0,00334 9799		0,522
			54390		34,550		12		280		58
	0,2	0,03240 39507		277,237		0,047		0,00335 0079		0,464
			54421		34,573		11		281		58
	0,3	0,03240 93928		242,664		0,036		0,00335 0360		0,406
			54454		34,596		10		281		58
	0,4	0,03241 48382		208,068		0,026		0,00335 0641		0,348
			С,4485		34,620		8		281		58
	0,5	0,03242 02867		173,448		0,018		0,0()335 0922		0,290
			54518		34,643		6		281		58
	0,6	0,03242 57385		138,805		0,012		0,00335 1203		0,232
			54549		34,666		5		282		58
	0,7	0,03243 11934		104,139		0,007		О,00335 1485		0,174
			54582		34,690		4		281		58
	0,8	0,03243 66516		69,449		0,003		0,00335 1766		0,116
			54614		34,713		2		282		58
	0,9	0,03244 21130		34,736		0,001		0,00335 2048		0,058
			54646		34,736		1		282		58
	f,O	0,03244 75776		0,000		0,000		0,00335 2330		0,000

	Поправни R разностям ноэффициентов				Поправни R разностям иоэффициентов
							1
	::	а		~		а		~
	Аsln• m 1	поправна	Лsin' m 1	поправиа	Лsin',m 1	поправна	Лsin'm 1	поправиа
	0,00000	-16	0,00000	-0,012	0,05312	-7	0,06983
	1•							-0,003
	0,00312		0,00086		0,05938		0,07845
		-15		-0,011		-6		-0,002
	ii0,00938		0,00948		0,06562		0,08707
		-14		-0,010		-5		-0,001
	0.Q1562		0,01810		0,07188		0,09569
		-13		-0,009		-4		0,000
	. 0,02188		0,02672		0,07812		0,10000
		-12		-0,008		-3
	10.02812		0,03534		0,08438
		-11		-0,007		-2
	,0,03438		0,04397		0,09062
		-10		-n,006		-1
	. &,04062		0,05259		0,09688
		-9		-0,005
	0,04688		0,06121		(,,10000	о
		-8		-0,004

......._

135

11'

1

1

,1:1

1

1

1 11.

'],.

,11.1

1,1

Вычисления ведут с числом. десятичных знаков, указанных в примерах.

Табл. 12 содержит значения :коэффициентов а, В, -у, а 1 и В 1, необходимые

для решения обратной геодезической задачи по способу Бесселя*. Коэффициенты а и В находят параболическим интерполированием при

помощи поправок к разностям коэффициентов. Коэффициенты -у, а 1 , В 1 выби­ рают из таблицы линейным интерполированием (см. табл. 12).

Пр им ер.		Определить а, В,		-у,	а. 1	и В 1	для sin 2 т = 0,24798.
Коэффициенты а и В находят гиперболическим интерполированием сле­
дующим образом:								0,2
1) из	таблицы		коэффициентов		для		sin 2 т =		выбираем:		а =
= 0,03240 39507,		разность Л = 54421,				В = 277,237,		разность		Л = 34,573;
2) из	таблицы		поправок к	разностям:			коэффициентов		для	Л sin 2	т =

= 0,0479"8 отыскиваем поправку к разности а, равную -8, и поправку :к раз­

ности В, равную -0,006; 3) по исправленным разностям: :коэффициентов (для а - 54413 и В -

34.567) вычисляем: окончательные значения а и В:

а= 0,03240 39507 +54 413 Х 0,4798 Х 10-10 = 0,03240 65 614,

В= 277,23734,567 х 0,4798 = 260,652.

Значения коэффициентов -у, а. 1 и В 1:

у= 0,047 - 11 Х 0,48 Х 10-з = 0,042;

а1 = 0,00335 0079 +281 Х 0,4798 Х 10-9 = 0,00335 0214;

~1 = 0,46458 Х 0,48 Х 1о-з = о,436.

§ 30. Решение главной геодезической задачи

при помощи нормальных сечений

Рассмотрим: еще один способ решения главной геодезической задачи пря­

мым путем. В этом способе вспомогательная сфера строится радиусом, равным

радиусу кривизны сечения первого вертикала N 1 в начальной точке, с центром

вточке пересечения нормали с осью вращения эллипсоида.

На рис. 58 АРБ - полярный треугольник на		эллипсоиде,	а А'Р'В'
(рис.	59) - соответствующий полярный треугольник на сфере. Его построение
можно представить следующим способом::
На произвольном: большом круге, принятом за меридиан точки А на шаре
радиуса N 1 , откладываем: дугу А'Р' = 90° - Б 1 , определяя тем			самым на
сфере	положение точек А' и Р'. Далее откладываем в точке А' тара от мери­
диана	угол, равный азимуту прямого нормального	сечения на	эллипсоиде

из А на Б и под этим углом проводим: дугу большого круга а. При этом а должно быть равно углу, под которым усматривается из точки па дуга нормального сечения из А в Б на эллипсоиде. При помощи построения на шаре указанных элементов определяется положение и третьей вершины сферического треуголь­

ника, т. е. точки Б'.

Характерная особенность данного построения - изображение сфероиди­ ческого треугольника АРБ на шаре при помощи прямого нормального сечения в одной из конечных точек дуги АБ.

* Указанные коэффициенты можно использовать также для решения прямой геодею1-

ческой задачи по способу Бесселя.

136

Поскольку все элементы сферического треугольника выражаются в угло­

вой мере, элементы треугольника А'Р'В' тождественно будут совпадать с эле­ м.ентами сферического треугольника аЬр произвольного радиуса, показанного

на рис. 58 пунктирными линиями.

Общий ход решения задачи остается nр.ежним: а) переход от известных элементов сфероидического треугольника к соответствующим элементам сфе­ рического, б) решение сферического треугольника и нахождение величин,

являющихся искомыми, и в) переход

р	от найденных искомых величин на
	сфере к соответствующим им на
	сфероиде.

		Условимся, что		кривая А В на
		сфероиде представляет собой геоде­
		зическую	линию.	Установим	про­
	с	стейшие	зависимости между		эле­
		ментами	указанных	треугольников.

о	р'
р

о

		А'
	Р11с. 58	Рис. 59
Во-первых, расхождения		в длинах геодезической линии и дуги нормаль­
ного сечения -	практически	пренебрегаемы (см. § 15).
Сторона полярного треугольника А'Р', согласно принятому построению
А'Р' = 90° -	В1 . Поскольку линии Впь и Впа лежат в плоскости :меридиана

точки В, то угол l, выражающий разность долгот на эллипсоиде, при переходе

ва сферу не изменится.

Согласно упомянутому выше условию, в качестве одной из заданных

величин на эллипсоиде был указан азимут геодезической линии А 1 . 2 , в то Время как на сфере отложен азимут прямого нормального сечения а 1 . 2 • Поэтому

Следует осуществить переход от А 1 2 к а	1 2 •
Остальные элементы треугольника: s,	90° - В 2 и 360° - А 2 _1 при пере­

ходе на сферу получат новые значения, поэтому для применения этого способа

должны быть известны зависимости или соотношения между s и <J, В 2				и В;,
а также между а;.1	и л;. 1	•	Из (17 G)
Во-первых, укажем формулу для перехода от А 1 . 2 к а 1_ 2 •				юнеем
		11·12 s 3 sin А1.	2 tg В1	(30.1)
		-------- р".
		24N~

137

"""

Обозначив последние два поправочных члена через z:, 1		и v 2 , перепишем
формулу (30.1)	+v1 - V2,
а1• 2 = А1 • 2		(30.2)

Зависимость между s и cr получена в § 16. Очевидно, при решении главной геодезической задачи необходимо, в зависимости от требуемой точности, при­

менять формулу (16.11) или (16.14), причем последняя имеет ви~

-	'112 tg В1 cos А1. 2 (	1	2	cos	2 А	1	)	3 )	.	(30.3)
	3 '		-- 2111				2	s
	. 8N 1						.
Формулы (3'0.1)	и (30.3) пригодны		для	расстояний, не						превышающих
4000-5000 ·км.							§ 15. Величина е" в соот­
Зависимость между В 2 и в; также получена в
ветствии с (15.3) -	разность широт В 2	-	в;. Но полученное выражение для Е

далеко не всегда может быть использовано при решении геодезической задачи

'Вследствие его приближенности. Дадим точные формулы для перехода от В;

к В	2	или обратно. Из рис.		58	следует,		что ,
		t	g	В'= пас		_	ОС --·OD'+ naD
				_) 2	вс	-		вс
или, принимая во внимание (4.8) и (11.1),
		,		(1-е2 ) N 2 sin B 2 +N1 e2 sin В1
		tg В2	= ----- ' ----------
						N 2	cos	В2
	Заменяя N - v•
		tg В; =		(1-е2) _с_ sin В2				+-с- sin В1
					V_2____V_1___
						у•2	cos В2

после элементарных преобразований, окончательно получаем точную формулу

t B' - t В

g2 - g2

Обозначая

(	1 -	2	+	2	V2	sinB1 )	(30.4)
		ее--.--.
					V1	sш В2

			(30.5)
переписываем (30.4) так:
tg в; = k tg В2•			(30.6)
Переходя к установлению зависимости между а;.1 и А;.1		,	отмечаем сле­
дующее: а;.1 представляет собой на	шаре 360° - а.2. 1 , т. е.		дополнение до
360° азимута направления с В 1 на А	1 . На эллипсоиде это будет угол между

плоскостью меридиана точки В и плоскостью, проходящей через прямое нор­ мальное сечение из точки А на точку В. Очевидно, можно перейти от а.;_1 к А;.1 следующим образом: от угла а;.1 к азимуту прямого нормального сечения, из точки В на А путем введения поправки Л и от азимута нормального сечения

138

Г-утуrеодезическойлиниипутемвведенияпоправки/5 2 . i- Иначе говоря,

·используя формулы (17.2) и (17.3)

А;. 1 =а;. 1 -Л" +02. 1,

или			e2cr2 cos 2 Вт sin 2А1. 2
,		e2cr2 cos2 Вт sin 2А 1. ') р" +		р".	(30.7)
Аs. 1 = а;. 1 -		4	'12
Суммируя	поправочные члены, находим

	,		,		'llis2 sin А1		. 2 cos А1. 2			(30.8)
	А2	.	1=~	.	1 ---------- .
						3Ni
Принимая во внимание обозначения (30.2),								получаем
			л;. 1 =а;. 1 -2v1,							(30.9)
При решении геодезической задачи на большие расстояния эта формула
будет давать значительные погрешности.
Более точной формулой будет (17.7),						т. е;
А,	,		'YJis2 sin А1. 2 cos А1. 2				+	'YJis3 sin А1. 2 tg В1		(30.10)
2. 1 = CG2. 1 -					3Ni			8N~	'
или, используя	обозначения (30.2),
			А;. 1 = а;. 1 -			2v 1 +3v2.				(30.11)

Приведенными формулами решается вопрос об установлении зависимости между элементами сфероидичесн.оrо и сферического треугольников.

Рассмотрим порядок решения прямой и обратной геодезической задачи

по данному способу.
Прямая		геодезическая				задача
Исходные данные: В 1		-	широта	первой	точки,	s -	длина геодезической
линии между первой и второй точками, А 1 _2					-:- ее азимут. Порядок решения:
1. Переход от азимута геодезической линии А 1 . 2 к азимуту прямого нор­
мального сечения а 1 2	по формулам (30.2).
2. Переход от длины геодезической линии между точками к длине дуги
нормального сечения по формулам (30.3).
3. Решение сферического			треугольника		А 1Р 1В 1	по	формулам:
а;. 1 + z			sin	90°-(B1-cr)		,:tt·
				2	tg		;>
tg	2
			sin	90° -(/J 1 +cr)
				2
а;_ 1 - l			cos	90° -(В1 -cr)
				2		а1	"
tg	2				tg-·-~			(30.12)
			cos	90°-(JJ 1 +a)		2
				2
			а;_ 1 --l
			_s_i1_1__2__ tg 900 -(В1+cr)
			а;. 1 + z			2
			sin ----
и вычисление в;, а ;_ 1 ,	l.			2

139