Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

в каждой точке кривой. Согласно § 11, нормали Ап1, ап2, Ьп3, сп4 пересекают малую ось эллипсоида в разных точках, поэтому плоскости АаЬп2, аЬсп3, bcdn4 не совпадут между собой и точки А, а, Ь, с, d и т. д. дадут на поверхности эллип­

_соида непрерывную кривую двоякой кривизны.

В изложенном методе построения геодезической линии каждая последу­

ющая точка геодезической линии определяется по двум предшествующим при

условии бесконечно малых расстояний между каждыми двумя смежными точ­

ками.

Очевидно, для построения геодезической линии на поверхности между _sаданными точками А и В необходимо знать направление первого элемента

;дривой.

в

Рис. 22

Покажем другой путь построения геодезической линии между точками А

.и В. Пусть на рис. 21 АаВ - прямое нормальное сечение в· точке А, а ВЬА -

Jiрямое нормальное сечение в точке В.

Соединим А и В хордой и из середины ее проведем нормаль к поверхности

эллипсоида; пусть С - точка пересечения этой нормали с поверхностью эллип­ _соида. Проведем плоскость через нормаль в точке С и точку А; в этой плоскости

будет лежать хорда АВ. Следовательно, эта плоскость пройдет и через точку В.

Сечение этой плоскостью поверхности эллипсоида показано кривой АсСсВ.

.Очевидно, эта плоскость будет плоскостью прямого нормального сечения из

точки С на точку А и на точку В.

Проведем прямое нормальное сечение в А на точку С; пусть это сечение изобразится кривой АаС, которое расположится на поверхности эллипсоида

.южнее, чем обратное сечение СсА, поскольку точка С на чертеже располагается севернее точки А. Аналогично этому прямое нормальное сечение в точке В

на точку С изобразится кривой ВЬС, которая будет расположена севернее нор­

мального сечения СсВ, так как точка С находится южнее точки В.

Соединим хордами точки А и С, В и С и из середины этих хорд проведем

нормали к поверхности эллипсоида, которые пересекут последнюю в точках d

и е; затем исполним те же действия, какие произвели ранее в отношении точки С: проведем нормальную плоскость в d через А так, что она пройдет и через

точку С и изобразится кривой Ad 1 dd'C. Точно так же построим нормальную плоскость в е, проходящую через С; она пройдет и через точку В и изобразится кривой Се1е'В. Прямое нормальное сечение в А на точку d изобразится кри­

вой Aa 1 d; прямое нормальное сечение с С на d - кривой Cc	1 d; прямое сечение
с В на е изобразится кривой ВЬ 1е, прямое сечение с С на е -	кривой Сс2е.

Далее	поступаем так же: соединяем хордами точки А и d, d и С, С и е,
.е и В (рис.	22); из середины этих хорд проводим нормали к поверхности эллип-

50

соида, которые пересекут ее в точках f, g, h, i; проводим нормальные плоскости

в этих точках, проходящие соответственно через точки А, d, С, е, В, затем

соединяем хордами точки А и f, f и d, d и g и т. д., т. е. выполняем во вновь

отмеченных точках такие же действия, как и раньше.

Если продолжать такое построение до бесконечности, то плоскости, про­

водимые через нормаль в середине каждой хорды, обратятся в соприкаса­

ющиеся плоскости. Число хорд, а следовательно, и число точек пересечения

нормалей, проходящих через середины хорд, будет бесконечно ве~ико. Э:.и

точки образуют непрерывную кривую, которая и будет геодезическои линиеи"

так как выполнено условие,

определяющее геодезическую

кривую; в каждой точке ее

нормаль к поверхности будет

лежать в соприкасающейся плоскости кривой.

в

А	А
Рис. 23	Рис. 24

В результате построения (тем или иным путем) геодезическая линия займет­

положение относительно взаимных нормальных сечений, показанное на рис. 23.

При азимутах линий, не близких к 90 или 270°, положение геодезической

линии относительно взаимных нормальных сечений будет несколько иным. Определим приближенно угол, который образует геодезическая линия

с прямым нормальным сечением.

При азимутах линий, близких к 90 или 270°, нормальное сечение, которое

проходит через нормаль к поверхности эллипсоида, проведенную из середины

хорды, соединяющей конечные точки кривой, делит углы между взаимными

нормальными сечениями пополам. Так, на рис. 21 сечение АсСсВ делит пополам углы при А и В между кривыми АаВ и ВЬА, сечение Аd 1 dd' С делит пополам

углы при А и С между кривыми А аС и АсС. Это положение доказывается

в фундаментальных курсах высшей геодезии [27, стр. 56-57]. К этому же

выводу можно прийти на основании геометрических соображений.

Воспользуемся этими свойствами кривых на эллипсоиде для приближен­

ного решения поставленной задачи. Обозначим: Л - угол между взаимными

нормальными сечениями в точке А, т. е. между кривыми АаВ и ВЬА, б -

51

1

• ....	,·
1 1	'

'1'!

1 1 !

(

1' 1

!I 11 \

-угол начального элемента геодезичес'кой линии в А с прямым нормальным:

.сечением на В, т. е. с кривой АаВ. Будем иметь (см. рис. 21 и 24) углы между

~кривыми:

АсС и АаВ, равный ~ ,

	АсС >> АаС	>>	л
			4'
	Ad1D >> АсС	>>	л
			8'
	Ad1 d>> АаВ	))
		))	л
			16'
		>>	л
			32'
	Afd >> АаВ	>>

,и т. д.

В пределе, при бесконечном продолжении описанного выше построения,

,угол между кривой АаВ и нормальным сечением, проходящим через нормаль, проведенную из середины ближайшей к точке А хорды, обратится в б. Тогда

,;по аналогии с написанной выше таблицей будем иметь:

б -		л			л	л	л	л
		2			8	32	128	512	... '
	л(			1 -	1	1	1	1		)
о -· 2					4	- 16	- 64	- 256	- • • • '
·ИЛИ
о =-	Л	{	1 -		( 1	1	1	1	+ ...	)}	.
	2				4	+16	+ 64	+ 256

Сумма членов геометрической прогрессии, стоящей в круглых скобках, ~равна 31 . Следовательно,

б = ~ (1-_!_)		'
2	3

(12.1)

Отсюда следует, что геодезическая линия на поверхности эллипсоида

,(при азимутах, не близких к 90 или 270°) делит угол между взаимными нор­

·мальными сечениями в отношении 1 : 2 и располагается в данной точке ближе

1~ прямому нормальному сечению.

Иначе говоря, угол между геодезической линией, соединяющей точки А

и в,	u	1
	и прямым нормальным сечением в каждои из этих точек равен	3	угла

между прямым и обратным нормальными сечениями в данной точке.

В дальнейшем этой зависимостью нам придется воспользоваться при полу­ ,чении формулы поправки в направления за переход от прямого нормального

"сечения к геодезической линии.

,52

Если между двумя точками поверхности эллипсоида натянуть упругую

нить, то нить примет форму геодезической линии. Действительно, равнодей­ ствующая упругих сил нити в каждой точке должна лежать в соприкасающейся

плоскости, а сопротивление поверхности направлено по нормали к поверхности.

При равновесии нити эти две силы уравновешиваются и соприкасающаяся плос:кость будет содержать нормаль к поверхности.

§ 13. Упрощенный вывод основного уравнения

геодезической линии

Расс:'lютрим элементарный полярный треугольник АРВ' (рис. 25), обра­ зованный дугами меридианов АР, В'Р и элементарной дугой геодезической

линии ds.

Пусть направление начального элемента геодезической линии ds из точки А

задано азимутом А. Проведем из точки В' элементарную дугу параллели В'С.

Разности широт и долгот точек А и В' обозначим: через dB и dl, сближение меридианов в точке В' - через dA.

Из э:тементарного треугольника АВ'С имеем:

М dB = dscos А,
r dl = N cos В dl = ds sin А,	(13.1)

где r - радиус параллели.

Имея в виду, что угол при вершине В' треугольника СРВ' равен 90° -

-dA, напишем:

cos (90° -- В) = ctg dl ctg (90° - dA)					} '
	tg dl si n В = tg dA					(13.2)
		dA = dl sin В
		dA = ds sin А tg В •				(13.3)
		N
Из (13.1) и (13.3) напишем:
dB		= cos А = ~ cos А			1
	8		1
	ds	М	с
:: =		i;А sec В =	:	sec Вsin А	} .	(13.4)
dA	=	sin А	У	.	'
7,s		-w-tgB = ctg ВsшА			J
Заметим, что первые два		уравнения	из	системы	(13.4)	могут относиться

к элементам любой кривой на поверхности эллипсоида, поскольку они выра­ жают линейные элементы поверхности; последнее уравнение относится только

к ~еодезической линии (см. [2, стр. 71-72] или [55, стр. 33-37]).

Система уравнений (13.4) имеет весьма важное значение в высшей геодезии,

так как она представляет собой исходные дифференциальные уравнения для решения прямой и обратной геодезической задачи на поверхности эллипсоида.

1

1

i\

11

11

:,

!J

)

53

Докажем важную теорему для геодезической линии: п р о и з в е д е я и е

радиуса параллели на синус азимута в каждой

р

точке геодезической ли­

нии - величина постоян­

на я, т. е.

r sin А = const.

Изобразим меридиан точки А в пло­

скости чертежа (рис. 26). Если радиус.

р

А
Рис. 25				Рис. 26
параллели точки А обозначить через r,			то радиус параллели точки С будет
r + dr, причем по чертежу для dr будем иметь
-dr = М dB sin В.				(13.5)
Из уравнений (13.1) пишем			dB
				(13.6)
cosA =М ds'
.	А		dl	(13.7)
SШ		=rds.
Помножим левую и правую части уравнений (13.6) на rdA, а уравнения
(13. 7) на dr и сложим. Будем иметь:			d: sin Вdl,
r cos А dA = Mr

drsinA=rdr :: = -Mr :~ dBsinB

или

r cos А dA +dr sin А = О.

В правой части мы получили полный дифференциал, интеграл которого

равен
r sin А= const.	(13.8)
Следовательно, теорема доказана. Согласно (4.21),
r=acosu,
поэтому уравнение (13.8) может быть переписано
а cos и sin А = с	(13.9)
или
cos и1 sin А1 = сьs и2sin А2 = ... = с.

54

Из уравнения (13.9) следует, что для геодезической линии на поверхности

эллипсоида вращения пр о из ведение к о с ин у с а пр и веден -

ной широты точки геодезической линии на синус азимута геодезической линии в той же точке есть

в е л и ч и н а п о с т о я н н а я.

-Уравнения (13.8) и (13.9) представляют собой два вида основного уравнения

геодезической линии на поверхности эллипсоида вращения.

Эти уравнения в дальнейшем будут использованы при выводе формул

.для вычисления геодезических координат при больших расстояниях между

:пунктами.

§ 14. Аналитический вывод основного уравнения

геодезической линии на поверхности вращения

-Учитывая большое значение, которое имеет геодезическая линия в высшей

геодезии, в этом параграфе получим: общий вид дифференциального уравнения

геодезической линии на любой поверхности исходя из ее определения и, далее, как частный случай, получим уравнение линии для поверхности эллипсоида

.вращения.

Пусть имеем поверхность, уравнение которой

F (х, у, z) = О.

Параметрическое уравнение геодезической линии в общем виде будет

х = f(s); у= ер (s); z = 'Р (s),

(14.1)

где s - длина геодезической линии.

Известно, что косинусы углов а, ~' "l, образуемых нормалью к поверхности

.е, осями координат, будут равны:

дF		дF
дх		дl'j
соsа--л-;	cos Р. -- · - .
		t-'- D '
rде
Известно также, что косинусы		углов, образованных г л а в н о й нор­
малью :к кривой с осями координата № ~N, "lN,			равны
		d2y	d2z
	cos~N=Rds2;		COS"'N=R1	--,
			ds2

тде R - радиус первой кривизны.

Геодезическая линия определяется как кривая на данной поверхности,

'В каждой точке которой ее соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль

к поверхности в той же точке; это определение равносильно требованию совпа­ дения главной нормали кривой в каждой ее точке с нормалью к поверхности l3 той же точке (главной нормалью кривой называется прямая, полученная

-в результате пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей, относя­

щихся :к одной точке кривой). Это совпадение произойдет, если

дF	-IR d2x			дF		дF
дх			•	Ту _ R d2y I		дz _	R a2z
D	-	ds2	'	---Л- -	ds2	---Л- -	ds2 '

55

или		DF
дF	дF
дх		дz	.
72x=RD;	__!!Jj_ = R D · 72z=RD.
	d2y	'
ds2	ds2	ds2
Следовательно, уравнение геодезической линии для произвольной поверх­
ности имеет вид
дF	дF	дF
дх	ду	дz	(14.2)
~=a2y=d2z .
ds2	ds2	ds2

Для нас представляет интерес уравнение геодезической линии и ее свой--·

ства на поверхности земного эллипсоида, являющегося поверхностью вращения.

	р
		х
		/	/
			idx
			1
		AТi.yt
с	ь	1	1
		xl
			1
		1	1

А (:х.у z)	c------...____._!I
о	!!	d!J
Рис. 27		Рис. 28

Это уравнение будет частным случаем уравнения (14.2). Напишем уравнение­

поверхности вращения в виде

x2+y2+f(z)=O.

Соответствующие частные производные, входящие в (14.2), будут равны:

дF _	.	дF _	.	дF _	lf	,	(14.3)
дх -	2х,	ду -	2у,	дz -		(z).

Следовательно, уравнение геодезической линии на поверхности вращения" согласно (14.2) и (14.3), будет иметь вид

	2х	2у	f' (z)
	d2x =	d2y =~
	ds2	ds2	ds2
или
	d2x	d2y	= О.
	У ds2	- Х ds2
Интегрируя, получаем
	dx	dy
	у--х-=С
	ds	ds	'
или
	+ у dx-xdy =-: С ds,			(14.4)
где С.. -	постоянная интегрирования.
Определим геометрический смысл выражения Cds. Пусть координаты
точки А	(рис. 27), расположенной на поверхности эллипсоида,			равны х, у, z,

56

причем ось z расположена по оси вращения эллипсоида ОР, а оси х и у нахо­

.дятся в плоскости, перпендикулярной к оси ОР (первая система координат);

пусть А а - элемент геодезической		линии, имеющий			длину ds	и	азимут а.
Проекция элемента ds на параллель, т. е. отрезок А Ь,					равна ds sin а.
Так как точка а находится на бесконечно малом расстоянии от А, то коор­
.динатами точки а будут х	+ dx, у + dy,		z + dz,	а ее проекции на плоскость
параллели точки А, т. е.	координатами		точки	d, будут х + dx; у			+ dy и z.
Радиус параллели точки А , равный АС = ЬС, обозначим через r.
Определим площадь	треугольника А dC = Р, изобразив					его	отдельно
на рис. 28,
Р = 21 {(х+ dx) (у+ dy)- ху-2х dy-dx dy},
	Р = 1	(у dx -	х dy) •
	2
Площадь сектора А ЬС (см. рис.		27) будет равна ~rds sin а.
При бесконечно малых dx и dy площади треугольника А dC и сектора А ЬС
'Равны между собой, поэтому
{	(у dx- хdy) = { r ds sin а,
или, по (14.4),	С ds = r sin а ds,
·откуда
	rsiнa= С,						(14.5)
или	а cos и sin а = С,
							(14.6~

, ,,,.

т. е. получили уравнения (13.8) и (13.9).

§ 15. Расхождение взаимных нормальных сечений

Возьмем на поверхности эллипсоида две точки А и В, имеющие разные

широты п долготы (рис. 29). Обозначим:

nd, nь - точки пересечения нормалей к поверхности эллипсоида в точках А

иВ с малой осью;

а- угол между прямыми паА и паВ;

АаВ -	прямое нормальное сечение в А на точку В;
В ЬА -	прямое нормальное сечение в В на точку А;
АВ -	хорда - линия пересечения плоскостей прямого и обратного сече­
	ний АВпа и АВпь;
8 -	угол паВпь,

Для определения отрезка папь воспользуемся формулами (11.2) и (11.3),

из которых получим (см. рис. 17 и 29):

Опа= ае2 sin В1 (1 + ~ е2 sin2 в1),

Опь = ае2 sin 8 2 ( 1 +½ е2 sin2 В2).

57

Следовательно, с ошибкой порядка ае4			(В	2	-	В	1	) можем написать:
или	папь = Опь - Опа= ае2 (sin В2-					sin В1),
где								(15.1)
	в - В1+В2
	т-	2	•
Отметим, что треугольник АпаВ можно считать равнобедренным, так как
Апа ~Впа,	следовательно, угол А Ьпа	приближенно равен 90° - ~. Обозна-

,.чим через f угол между плоскостями

	АВпа и АВпь двух взаимно			обратных
	нормальных сечений.		Приняв за центр
	точку В, построим сферический треуголь­
	ник Ап~пь, соответствующий трехгран­
	нику с ребрами ВА, Впь, Впа (рис. 29
	и 30). В этом треугольнике стороне п~пь
	будет соответствовать угол е,			стороне
	Ап~ - угол АВпа,	равный		90° -	; .
	Угол при вершине треугольника А				бу­
А	дет искомым углом	f,	а угол при] ni,

а

Рис. 29	Рис. 30

равен 360° - А2 • 1 ,	так как плоскость,		проходящая через точки В, па, nь, есть
плоскость меридиана точки В.
Иs треугольника Ап~п;, имеем
	sin /		sin е	(15.2)
	sin (360° -А2.1) -		sin ( 90 0 _
				~) •
Иs треугольника Впапь (см. рис. 29) следует
		sin е	nanь
	sin (90° -В2+е) = ~ -
Заменяя nьna,	согласно (15.1), и пренебрегая в знаменателе левой части
последнего уравнения величиной е, получаем
	sin е	ае2 (В2 -В1) cosBm
откуда	cosB 2		N2	•
	sin е ае2	(В2-В1) cos В2 cos Вт
			N2

58

41

l1;

или с ошибкой порядка е4

(В2 -

В1 )

sin е = е2 (В2- В1) cos В2cos Вт.

(15.3)

На основании (15.2)

. f

= -

sin в sin А2

'

1

,

Slll

(J

cos 2

или, принимая во внимание (15.3) и заменяя cos В2 на cos Вт, получаем

sin/= _

e2 (B2-B1)cos2BmsinA 2.1

(J

r.osт

Но приближенно

(В2- В1) == s cos А1•2(1)1 ~ а cos А1,2•

Полагая А

2

,

1

= А

182

±180°, получаем, пренебрегая ошибкой порядка е20' 2 ,

f" = е20' cos А1•2cos2 Вт sin А1.2Р",

или

/" = ~

е2а cos2 Втsin 2А1

_2р".

(15.4)

При s = 1()0км, а ~

t , Вт= 45° и А 1.{= 45°:

60

t"~6".

Таким образом, f

- угол между плоскостями взаимных нормальных сече­

ний - величина малая второго порядка. Для максимальных длин сторон тре­

угольников

триангуляции 1 класса, рав-

о

ных 40-50 км, значение /" равно 2-3 ".

Следовательно, угловые и линейные рас­

хождения между взаимными нормальными

сечениями будут величинами малыми.

Поэтому при последующем выводе фор-

А

d

/{2 !(

	к,
	Рис. 32		Рис. 33
мул можно дуги АаВ и АЬВ рассматривать как		сферические с центром в па
или п••	дуга прямого нормального сечения в точке А, рассма-
На рис. 31 АаВ -
триваемая как дуга окружности с центром в па;		А ЬВ -	обратное нормальное

59