Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

Принимая во внимание выражения (20.3) и (20.4), переписываем формулу

(20.2)

4	= cosA 1			-	Ьс sin2R А 1		,
cos ~					6	2
или					uc sin2 А1
cosA-cosA			== -
		1			- ---- ,
						6R2

_ .	А-А1	•	А+А 1	_	bcsin2A 1
2 SШ	2	Slll	2	- -	6R2 •

Разность А-А 1 - малая величина, поэтому можно положить:

. А-А1	А-А1	. А+А1 .	А
sш--2- =	2	SШ -Т-- = Slll	1

На основании (20.5) получаем

А-А = bcsinA 1

1 6R2

Площадь Р треугольника А 1В 1С1 может быть выражена формулой

P=bcsinA 1

2 ,

(20.5)

(20.6)

(20. 7)

поэтому

(20.8)

Аналогично

предыдущему

(В-В1)"= 3~ 2 р"; (С- С1)"= :Н.2 р".

Складывая почленно три последних уравнения и принимая во внимание,

что А 1 + В 1

+

С1 = 180°,

получаем

(А +В+ С) = 180'

Так

как

сумма углов

сферического

треугольника (А + В + С) равна

180° + е,

где е -

сферический избыток треугольника, то

"'"=_!__р"

•

с,

R2

Искомые значения углов плоского треугольнюш в окончательном виде

выразятся простыми формулами:

8

)

А1сс=А-з

1

В1=В-; f'

(20. g)

C1 =c-;J

где

,,

Р

"

bcsinA

1

р

,,

8

= Jf2P

=

2н2

}·

(20.10)

или

ь2 sin А1 sin С1

р"

е"=-----....;..

sin В1

•

2R2

7@

Обозначая

				р"		= J,
				2R2
выражение для сферического избытка в" напишется
В	,, _	2	jPfb	.	А	-f Ь2	sjn	А1	sin С1	•	(20.1()'7)
	-		-	С Slll	. 1	-	.
							sшJJ 1

Значение f берется из таблиц по аргументу широты (табл. 4); при вычисле­

нии сферического избытка е с использованием указанных таблиц значений f

длины сторон треугольников выражаются в десятых долях километра.

			Таблица 4
/3		/3
30°	0,00 25 44	50°	0,00 25 32
31	2543	51	25 32
32	2543	52	25 31
33	2542	53	2530
34	2542	54	25 30
35	25 41	55	25 29
36	2540	56	25 29
37	2540	57	25 28
38	25 3~	58	25 28
39	25 39	59	25 27
40	0,00 25 38	60	0,00 25 27
41	25 37	61	25 26
42	25 37	62	25 26
43	25 36	63	2525
44	25 36	64	25 25
45	25 35	65	2524
46	25 35	66	2524
47	2534	67	25 23
48	25 33	68	25 23
49	25 33	69	25 22
50°	о.со 25 32	70°	0,00 25 22

Формулы (20.9) и выражают теорему Лежандра для малых сферических треугольников. Если стороны плоского и сферического треугольников соответ­

ственно равны, то углы плоского треугольника равны углам сферического треугольника, уменьшенным на одну треть сферического избытка. Углы А 1 ,

В1, С1 называются пл о с к им и пр и веденным и у r лам и. Если

удерживать при выводе малые величины четвертого порядка, то разности между

сферическими и плоскими приведенными углами выразятся формулами:

А1	-А = -		s"	-	s"			)
			-		--(m2-a2) '
			3		60R2			i,
В1			е,"		s"	2	-Ь"')		(20.11)
	-В=	------(т
			3		60R2
			в"		в"	(т2-с2)		j
С1-С= -т- 60R2

rде

71

·

'1

Вывод этих формул см. в работе [31 ].

При сторонах треугольника длиной около 200 км максимальное значение

члена lI0~1...: (т2 - а2) будет меньше 0,001 "; в равносторонних треугольниках

значение этого члена будет равно нулю. Таким образом, при решении треуголь­ ников, стороны которых не превышают 200 км, этим членом можно пренебречь.

Лишь при длинах сторон треугольников свыше 200 км следует учитывать

второй член формул (20.11). Но в этом случае нельзя считать треугольники

сферическими, а необходимо учитывать их сфероидичность, т. е. вводить попра­ вочные члены, выражающие различие между углами сфероидического и сфери­

чесного треугольников, имеющих соответственно равные стороны.

Формулы для вычислений этих сфероидических поправок, которые м:ы приводим без вывода, для углов А, В, С сфероидического треугольника имеют

вид:

811 пл-п )

--тг-п--

(20.12)

rде

1	1	1
пл=--·	nв =--·	пс=--,
А	в	н~
R2 '	R2 '

пл, nв и пс - Гауссова кривизна вершин треугольника АВС.

8 пА-п

Числовое значение поправок - :- при сторонах треугольников около

12 3

200 км менее 0,001 ", поэтому при вычислении триангуляции эти поправки

в углы треугольников не вводятся. Треугольники триангуляции рассматри­ ваются как сферические с радиусом, равным среднему радиусу кривизны той части эллипсоида, на которой расположена триангуляция.

В особых случаях может, однако, возникнуть необходимость учета попра­ вок за сфероидичность треугольников. Если А, В, С - углы сфероидическоrо треугольника, а А 1 , В1 , С1 - углы плоского треугольника, имеющего стороны,

соответственно равные сторонам сфероидического треугольника АВС, то переход

к плоским приведенным углам совершается по формулам:

	ё,"	1:,"п	1:,"	пл -п
А1=А-з---ш(т2-а2)-12				п
	1:,"	1:," п	1:," пв - п
В =В----(т2			-Ь2)-----			(20.13)
1	3	60	12	п
	8"	1:,"п	1:,"	пс -	п
С1=С-т-оо(т2			__ с2)-12 п

Таким образом, если возникает необходимость учитывать второй поправоч­

ный член теоремы Лежандра, то надо рассматривать треугольники как сферо-

72

идические. Суммарное значение обеих поправок меньше 0,001 ", если стороны треугольника не превосходят 200 км.

Более точная формула для сферического избытка треугольников имеет вид

8	,, = Ьс sin А1	р" ( 1	+~)	(20.14)
	2R2		8R2	•

При уравнивании триангуляции 1 класса углы треугольников вычисляют,

удерживая тысячные доли секунды. Отсюда следует, что ошибка в определении

сферического избытка не должна превосходить величины порядка 0,0005".

Рассмотрим, при каких размерах сторон треугольников можно при вычис­ лениях пренебрегать вторым членом в формуле для в". Если взять равносторон­ ний треугольник со сторонами 90 км, то числовое значение поправочного члена

Ьсsin А1

"m2

= в

"

т'!.

б

удет

О,ООО

5

".

С

ледовательно,

при

вычислении

zн2

Р sн2

SR 2

u

т2

сферического избытка следует учитывать поправочныи член в SR 2

в том слу-

чае, если стороны треугольников больше 90 км. Поскольку стороны треуголь­

ника триангуляции 1 класса обычно не превосходят 90 км, то вычисления сфери­

ческого избытка практически почти всегда следует вести без учета второго

члена, т. е.
8	,,	=	bcsinA1	,,	(20.1.5)
			2R2	р .
В последней формуле А 1 -	приведенный плоский угол.

Рассмотрим, в каких случаях можно пренебрегать при вычислении сфери­ ческого избытка различием между углами А и А 1 . Погрешность в в вследствие ошибки в А выразится формулой

л8	"- bccos А			р" ЛА =в"ctgA ЛА.
	-	2R2
Очевидно, ЛА = Зрв"", поэтому
		Лв	"	=	е"2	ctg А
						Зr"	•
Ставя по-прежнему	условие Лв" < 0,0005" и полагая, что ctg А = 1,

находим

в''2 -= Лв"• Зр" = 300,

Следовательно, при величине сферического избытка меньше 17 ", что соот­

ветствует при равносторонней форме треугольников длинам сторон около 90 км,

различием между А и А 1 в формуле (20.15) можно пренебрегать и сферический

избыток вычислить по формуле

,,	=	bcsinA	,,
е		2R2	р.

Если стороны треугольников близки или больше 90 км, то в" следует вы­

числять двумя приближениями: сначала получить приближенное значение

сферического избытка и по нему вычислить приближенное значение приведен­

воrо плоского угла

73

1 {

С этим приближенным значением угла А~ сферический избыток вычисляется

по формуле
	811 =	Ьс sin А~	р"	(	+	т2 )
		2R2		f		8R2 •
При	логарифмическом	вычислении				сферического		избытка	вели-
чину lg ~	= lg f выбирают	из специальной				таблички	(см.	<<Таблицы	для
2	2						1953). С этим обозна­
вычисления геодезических координат>>. М.,					Геодезиздат,

чением формула для вычисления сферического избытка примет вид

в"= fbc sin А.

При решении треугольников триангуляции 2 класса и ниже необходимость

учета поправочных членов как в теореме Лежандра, так и при вычислении Е

отпадает.

Для общей ориентировки приводим числовые значения сферических избыт­ ков при различных длинах сторон (для равносторонних треугольников):

s км
5	Е~ 0,07",
10	Е ~ 0,25",
20	Е~1",
30	Е~ 2",
60	Е ~ 8".

Сферический избыток треугольников вычисляют при помощи четырех­

значных или пятизначных таблиц логарифмов, обычно одновременно с предва­

рительным решением треугольников.

В табл. 5 приведен пример решения малого сферического треугольника по теореме Лежандра.

Таблица 5

Bm=48°12'

	Углы		Углы	Синусы	Стороны
Вер-		е		углов		Вычисление сферического
шины	сферического	-- 3 -	плоского	плоского	сферического	избытка е
	треугольника		треугольника	треугольника	треугольника

				Dп= 50 636,714
в	62° 12'45, 11"	-1,36	62°12'43,75"	0,8846 7988	44 797,282	f	0,002 533
А	50 20 19, 98	-1,36	50 20 18,62	0,7698 2866	38 981,594	ь2	2007,04
с	67 26 59, 00	-1,37	67 26 57,63	0,9235 4082	46 765,073	sinA	0,769 831
						sin С	0,923 542
--						sin А sin С	0.710971
	180 00 04, 09		180 00 00,00			ь2 sinA sin С	1426,95
						sinB	0,884 681
						Dт	1612,95
						ё,"	4,086"

Этот пример, как и последующие три примера на решение сферических

треугольников, взяты с некоторыми сокращениями и изменениями из [10].

Нетрудно установить порядок применения теоремы Лежандра к решению сферических треугольников по трем его сторонам. Очевидно, в этом случае

74

реуrольниRи сначала надо решать RaR плоские, принимая стороны сферичесRих

треугольников прямолинейными, а к вычисленным таким образом

8

треугольников прибавлять поправки, равные 3 .

В этом случае формулы для вычислений будут следующие:

t	А1	_	Р	)
	g 2	-	р (р -;;J
t	В1		р
	g-2- =		р (р-Ь)
t	С1	_	Р
	g-2- -		р (р-с)

где

углам

(20.16)

р =т1(а+ ь + с).

Р = V р~р- а)(р- Ь) (р-- с)

(2Л.17)

-площадь треугольника АБС,

8	(20.18)
В=В1+3

С= С1+;

Формула для вычисления сферического избытка:

в"= 2jP.

(20.19)

При соответствующих длинах сторон треугольников и точности измерений

должны учитываться сфероидические поправки, приведенные в формулах

(20.13), а сферический избыток - по формуле (20.14).

:Е

=

:s:

s

~

l:Q

Пример на решение треугольника по стпронам приведен в табл. 6.

							Таблица 6
				tg..!_
1				2	Углы		Углы
:Е ,.Q
=i=:	p-s	Р (р - s)	1 (р- Ь)	ta~	плоеного	8	сферичес:кого
с8			(р -с)		треугольни:ка	:Г	треугольпин а
~;>,~				ь 2	В1. А1, С1		В,А, С
СФ :i:;
E-<~:S:				tgJ:'...
Oe,,.:t			1
				2

в	44 797,28	20 474,69	1336,423	486,553	1 0,6033 8307	62°12'43,70"	1,36162°12'45,ОС;''
А	38 981,59	26 290,38	1716,025	378,923	О 4699 0866	50 20 18, 51	1,36 50 20 19, 8 7
с	46 765,07	18 506,90	1207,982	538,287	о:6675 3893	67 26 57, 50	1,36167 26 58, 86
							4,08"
2р	130 543,94, 65 271,97		р2= 650 241
р	65 271,97		Р=806,375
			2/ = 0,00506
			8 11 :=4,08''
					1

Рассмотрим решение треугольников, образованных хордами :между пунк­

тами, расположенными на поверхности эллипсоида.

75

эrrc

Обозначим по-прежнему через А, В и С углы треугольника, вершины

которого лежат на поверхности эллипсоида, через а-; Ь~ с - длины хорд между

вершинами и через R - средний радиус кривизны в области расположения треугольника, принимаемого sa сферический.

Имеем:

-	.	а	-	.	Ь
а = 2R sш		2R ;	Ь == 2R s1 n		2R	(20.20)

и

. а	{	sin; sin (л- ; ) )'
SШ-=		sin lJ sinC		} .
2R
ь	{	sin !:... sin (в-!:...)		1
SШ-=		2	2	J
2R		sin А sin С

Из сравнения формул (20.20) с учетом (20.21) получим:

_ _ /	sin В sin ( В- ; )
b=al/	--- .
r	sinA sin (А-;)

Далее

(20.21)

(20.22)

Vsi пВsin ( В-	Т) = Vsin В ( sin Вcos ~ - cos Вsin ~ )	=
= ·vsin2 В ( 1 -	~ ctg В) = sin В ( 1 - ~ ctg В ) = sin ( В -	l ) (20.23)

и аналогично

Vsin Аsin ( А ~ ~) =	sin ( А - : ) .	(20.24)

При этом при разложении функций в ряд мы ограничивались его первым

членом.

Принимая во внимание (20.22), (20.23) и (20.24),

sin ( В - ~)

ь=a------

sin (А-:)

sin (с-:)

C=a ------

sin (А-:)

окончательно напишем

(20.25)

Полученные формулы позволяют решать треугольники с достаточной точ­

ностью со сторонами до 100 км.

Для практических вычислений формулы (20.20) представим в следующем

виде:
-	.	а	= 2R	( а	а3 )	аз	(20.26)
a= 2R sш		2R		2R -	48R3	= а- :!.4R 2 •

76

По-прежнему вводя обозначение	l.·::

(20.27)

получим:

a=a-0,25ka3	)
b=b-0,25kb3	,	(20.28)
с= с- 0,25kc3

~де k = 409 .10- 11 (при таком значении k длины сторон выражаются в десятых

долях километра).

Из изложенного вытекает порядок вычислений:

1. Вычисление углов ( В - : ) , ( А - : ) , ( С - : ) .

2.Переход от длины исходной стороны к соответствующей ей хорде по

формуле (20.28).

3.Вычисление искомых длин хорд треугольника по формулам (20.25).

Прииер на решение сферического треугольника по хордам*.

Данные для вычислений взяты из примера на решение треугольника по

способу Лежандра, исходная сторона АС = Ь.

Ре m е ни е:

1. Вычисление углов:

е	А	f	с-:.
В-4,		-4,
		е
Сферические углы		-- 4 -	Исправленные углы
В 62°12'45,Н"		-1,022"	62°12'44,088"
А 502019, 98		-1,022	50 20 18,958
С 67 26 59, оО		-1,022	67 26 57,978
180 00 04, 09		-3,066	180 ею 01.024

2. Вычисление исходной стороны Ь хордового треугольника

Ь= Ь-О,25k· Ь8

(0,25k = 102 • 10-11)

Ьо	44 797,282
ь2	20 070
ьз	899 136
О,25~. ьз	0,092 м

ь44 797,190

* Пример заимствован из [10].

77

··tf··,ы

3. Вычисление сторон а и ё.
а =	Ъ	sin ( А- : ) ,
sin	(В-:)

		ь		.	( re::)	,
	C= ------ Slll				с- 4
	sin (В-:)
		ь		44i797, 190
	/	8	)
	sin \В-4			0,8846 8064
	sin (л-+)			0,7698 2971
	sln (с-+)			0,9235 4147
	ь: sin (в-+)			50 636, 566
		а		.38 981,533
1		с		46 764, 968~
1	1
	Контрольные вычисления
	. .	(в	е )	50 636, 566
	ь .sш	-т
	а: sin (А-+)			50 636, 566
	с: sin (с-+)			50 636, 565

§ 21. Решение треугольников по способу аддитаментов

.При решении треугольников по теореме Лежандра, рассмотренной выше, поправки за сферичность для применения формул плоской тригонометрии вводились в углы; возможно использование и сферических углов, но с введе­

нием поправок - а д д и т а м е н т о в -							в	стороны. Изложим этот способ.
Сохраняя прежние обозначения, для сферического треугольника АВС
имеем:
			•	Ь		•	а	sin В	(21	1)
.			sш R		= sш R			sin А ·		• ·
	Ь		•	а
раскладывая sш	R и sш			R в ряд и ограничиваясь по-прежнему первыми
двумя членами разложения, получим
	1(1 -		6~2 )		= t (al- 6~2 ) ::: 1•				(21.2)
Введем обозначения
	А			аз			a-ka3 =a~·
		а	=--=ka3•
				6R2		,		,
				ь~ -		а' sin в		'	(2.1.3)
					-	sinA

78

тогда			= ь··+ :~: .
Ь= a'sl~n: (1+ 6~ 2 ) = ь~ (1+ 6~ 2 )				(21А)
Обозначая аналогично	ьз _
_		З		(21.5)
Аь-	uIO· -	kb,
напишем окончательно
Ь=Ъ~+Аь.				(21.6)

Для стороны с соответствующие формулы будут:

с" ___ а' sinB
-	sin А		'
_	сЗ	_	З	(21.7)
Ас- uR2		-	kc'

С= r! +Ас.

Величина А s называется аддитаментом стороны s.

С целью упрощения вычислений следует пользоваться таблицей аддита­

ментов.

Значение k для территории СССР можно считать равным
1		(21.8)
k =-6- = 409.10-11	•
R2

При этой размерности k стороны треугольников должны быть выра,юшы

в десятых долях километра.

Рис. 41

Порядок вычислений при применении способа аддитаментов будет сле­

дующий:

1. Из исходной стороны а вычитается ее аддитамент А а и таким образом

вычисляется а';

2.С полученным: значением а' треугольник решается как плоский с исполь­

зованием сферических углов, т. е. вычисляются Ь', с';

3.Полученные значения Ь', с' исправляют аддитаментами Аь и Ас и полу­

чают искомые значения сторон треугольника.

Очевидно, при вычислении длин сторон вдоль триангуляционного ряда

(рис. 41) достаточно исправить исходную сторону а аддитаментом Аа, далее

с этим значением а' решить все треугольники как плоские при помощи сфери­

ческих углов и затем: исправить вычисленные значения сторон их адди­

таментами.

79

et